1. Prove que a função f(x)=e^x^44-6 x^2+a x tem, no máximo, um ponto crítico no intervalo (-1,1), para qualquer valor de a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
f(x)=expl(tfracx^44-6x^2+axr)
tem no máximo um ponto crítico em (-1,1), isto é, f'(x)=0 tem no máximo uma solução nesse intervalo. Vamos usar regras de derivação (cadeia e derivada do exponencial) e depois estudar a monotonicidade do polinômio que aparece.

Passo 2

Defina
u(x)=x^44-6x^2+ax,
de modo que f(x)=e^u(x). Pela regra da cadeia e sabendo que ddxe^u(x)=e^u(x),u'(x), temos
f'(x)=e^u(x);u'(x)
Como e^u(x)>0 para todo x, a equação f'(x)=0 é equivalente a
u'(x)=0

Passo 3

Calculemos
u'(x)=ddxl(tfracx^44-6x^2+axr) =x^3-12x+a
Denote
g(x)=x^3-12x+a
Então os pontos críticos de f são as raízes de g(x)=0.

Passo 4

Para ver quantas raízes g pode ter em (-1,1), observamos
g'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)
Em -1<x<1 temos x^2<=1, logo x^2-4<=-3 e
g'(x)<=3cdot(-3)=-9<0
Portanto g'(x)<0 em todo (-1,1), isto é, g é estritamente decrescente nesse intervalo. Uma função estritamente decrescente só pode ter no máximo uma raiz em qualquer intervalo.

Resposta

A função f tem no máximo um ponto crítico em (-1,1).

Exercícios relacionados