- Prove que a função
tem, no máximo, um ponto crítico no intervalo
, para qualquer valor de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
tem no máximo um ponto crítico em
, isto é,
tem no máximo uma solução nesse intervalo. Vamos usar regras de derivação (cadeia e derivada do exponencial) e depois estudar a monotonicidade do polinômio que aparece.
Passo 2
Defina
de modo que
. Pela regra da cadeia e sabendo que
, temos
Como
para todo
, a equação
é equivalente a
Passo 3
Calculemos
Denote
Então os pontos críticos de
são as raízes de
.
Passo 4
Para ver quantas raízes
pode ter em
, observamos
Em
temos
, logo
e
Portanto
em todo
, isto é,
é estritamente decrescente nesse intervalo. Uma função estritamente decrescente só pode ter no máximo uma raiz em qualquer intervalo.
Resposta
A função
tem no máximo um ponto crítico em
.