Dada a função f(x)=(x-1)^{3} determine:
a) os valores de x para os quais f^{\prime}(x)=0;
b) intervalos onde f^{\prime}(x)>0 e f^{\prime}(x)<0;
c) os valores de x para os quais f^{\prime \prime}(x)=0;
d) intervalos onde f^{\prime \prime}(x)>0 e f^{\prime \prime}(x)<0;

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=(x-1)^{3} e pede quatro coisas separadas:
a) os valores de x tais que f'(x)=0;
b) os intervalos nos quais f'(x)>0 e f'(x)<0;
c) os valores de x tais que f''(x)=0;
d) os intervalos nos quais f''(x)>0 e f''(x)<0.
Informações relevantes que já temos: a expressão explícita de f(x) em termos de x: (x-1)^{3}. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Primeiro precisamos calcular f'(x) (a derivada primeira). Vou explicar a regra que uso de um jeito bem prático: quando temos uma função do tipo (\text{algo})^{3}, podemos aplicar a regra da cadeia. Se u(x)=x-1 então f(x)=u(x)^{3}. A derivada de u^{3} em relação a x é
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{3}\bigr)=3\,u(x)^{2}\cdot u'(x).
Aqui u(x)=x-1 e u'(x)=\dfrac{d}{dx}(x-1)=1. Portanto
f'(x)=3\,(x-1)^{2}\cdot 1=3\,(x-1)^{2}.
Comentário didático rápido: outra forma é expandir (x-1)^{3}=x^{3}-3x^{2}+3x-1 e derivar termo a termo obtendo 3x^{2}-6x+3, que é algebraicamente igual a 3(x-1)^{2}. Ambas as vias chegam ao mesmo resultado; usar a cadeia é geralmente mais rápido.

Passo 3

Agora resolvo a parte (a): encontrar x tal que f'(x)=0. Substituo:
3\,(x-1)^{2}=0.
Como 3\neq 0, isso equivale a
(x-1)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Portanto o único valor de x que anula f' é x=1. Observação útil: a potência 2 indica que essa raiz tem multiplicidade 2 — geometricamente isso significa uma tangente horizontal em x=1 mas sem troca de sinal óbvia na derivada (ver passo seguinte).

Passo 4

Parte (b): analisar os sinais de f'(x)=3(x-1)^{2}.
  • Pelo formato, (x-1)^{2} é sempre maior ou igual a zero para todo x, e só é zero quando x=1.
  • Multiplicando por 3>0 não altera o sinal. Logo f'(x)\ge 0 para todo x, com igualdade somente em x=1.
Conclusão prática:
  • f'(x)>0 para x\in(-\infty,1) e também para x\in(1,\infty). Em outras palavras, f'(x)>0 para todo x\neq 1.
  • f'(x)<0 não ocorre para nenhum x (não existe intervalo onde f'(x)<0).
Explicação intuitiva: a função f(x)=(x-1)^3 é estritamente crescente em todo o domínio, mas em x=1 a inclinação é zero (ponto de tangente horizontal) — isso acontece porque a derivada se aproxima de zero tocando por uma “curva plana” devido à multiplicidade par na derivada.

Passo 5

Agora calculo a derivada segunda f''(x). Derivo f'(x)=3(x-1)^{2}. Aplicando a regra do poder:
f''(x)=3\cdot 2\,(x-1)^{1}=6\,(x-1).
Outra forma: derivando 3x^{2}-6x+3 termo a termo também dá 6x-6=6(x-1). Ambas coincidem.

Passo 6

Parte (c): resolver f''(x)=0:
6\,(x-1)=0 \quad\Rightarrow\quad x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Então o único ponto onde f''(x)=0 é x=1. Esse ponto é candidato a ponto de inflexão — de fato veremos mudança de concavidade no passo seguinte.

Passo 7

Parte (d): analisar os sinais de f''(x)=6(x-1).
  • Se x>1 então x-1>0 e, como 6>0, temos f''(x)>0.
  • Se x<1 então x-1<0 e f''(x)<0.
  • Em x=1 temos f''(1)=0.
Conclusão prática:
  • f''(x)>0 em (1,\infty). (Aqui a curva é côncava para cima / convexa.)
  • f''(x)<0 em (-\infty,1). (Aqui a curva é côncava para baixo.)
Observação final didática: como f'' muda de sinal ao passar por x=1 (de negativo para positivo), x=1 é um ponto de inflexão da função f. Um exemplo numérico para fixar: f'(0)=3(0-1)^{2}=3>0 e f''(0)=6(0-1)=-6<0 (cresce porém côncavo para baixo), enquanto f'(2)=3>0 e f''(2)=6>0 (cresce e é côncavo para cima).

Resposta

a) x=1
b) f'(x)>0 para x\in(-\infty,1) e para x\in(1,\infty); não existe x com f'(x)<0.
c) x=1
d) f''(x)>0 para x\in(1,\infty); f''(x)<0 para x\in(-\infty,1).

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