Dada a função
determine:
a) os valores de
para os quais
;
b) intervalos onde
e
;
c) os valores de
para os quais
;
d) intervalos onde
e
;
a) os valores de
b) intervalos onde
c) os valores de
d) intervalos onde
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede quatro coisas separadas:
a) os valores de tais que
;
b) os intervalos nos quais e
;
c) os valores de tais que
;
d) os intervalos nos quais e
.
a) os valores de
b) os intervalos nos quais
c) os valores de
d) os intervalos nos quais
Informações relevantes que já temos: a expressão explícita de
em termos de
:
. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Primeiro precisamos calcular
(a derivada primeira). Vou explicar a regra que uso de um jeito bem prático: quando temos uma função do tipo
, podemos aplicar a regra da cadeia. Se
então
. A derivada de
em relação a
é
Aqui
e
. Portanto
Comentário didático rápido: outra forma é expandir
e derivar termo a termo obtendo
, que é algebraicamente igual a
. Ambas as vias chegam ao mesmo resultado; usar a cadeia é geralmente mais rápido.
Passo 3
Agora resolvo a parte (a): encontrar
tal que
. Substituo:
Como
, isso equivale a
Portanto o único valor de
que anula
é
. Observação útil: a potência
indica que essa raiz tem multiplicidade
— geometricamente isso significa uma tangente horizontal em
mas sem troca de sinal óbvia na derivada (ver passo seguinte).
Passo 4
Parte (b): analisar os sinais de
.
- Pelo formato,
é sempre maior ou igual a zero para todo , e só é zero quando . - Multiplicando por
não altera o sinal. Logo para todo , com igualdade somente em .
Conclusão prática:
-
para e também para . Em outras palavras, para todo . -
não ocorre para nenhum (não existe intervalo onde ).
Explicação intuitiva: a função
é estritamente crescente em todo o domínio, mas em
a inclinação é zero (ponto de tangente horizontal) — isso acontece porque a derivada se aproxima de zero tocando por uma “curva plana” devido à multiplicidade par na derivada.
Passo 5
Agora calculo a derivada segunda
. Derivo
. Aplicando a regra do poder:
Outra forma: derivando
termo a termo também dá
. Ambas coincidem.
Passo 6
Parte (c): resolver
:
Então o único ponto onde
é
. Esse ponto é candidato a ponto de inflexão — de fato veremos mudança de concavidade no passo seguinte.
Passo 7
Parte (d): analisar os sinais de
.
- Se
então e, como , temos . - Se
então e . - Em
temos .
Conclusão prática:
-
em . (Aqui a curva é côncava para cima / convexa.) -
em . (Aqui a curva é côncava para baixo.)
Observação final didática: como
muda de sinal ao passar por
(de negativo para positivo),
é um ponto de inflexão da função
. Um exemplo numérico para fixar:
e
(cresce porém côncavo para baixo), enquanto
e
(cresce e é côncavo para cima).
Resposta
a)
b) para
e para
; não existe
com
.
c)
d) para
;
para
.
b)
c)
d)