Verifique os intervalos onde as derivadas de segunda ordem das seguintes funções são positivas e negativas.
f(x)=e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{2x} e pede para verificar os intervalos onde a derivada de segunda ordem f''(x) é positiva e onde é negativa.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=e^{2x}.
  • Pergunta-se onde f''(x)>0 e onde f''(x)<0.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vou usar): a derivada da função composta e^{u(x)} é dada pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{u(x)}\bigr)=u'(x)\,e^{u(x)}.
Aqui u(x) é uma função de x e u'(x) é a sua derivada. Vou aplicar isso com u(x)=2x.

Passo 3

Calcular a primeira derivada f'(x). Tomando u(x)=2x temos u'(x)=2. Aplicando a fórmula do passo anterior:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr)=2\,e^{2x}.
Explicando: a constante 2 vem de derivar 2x, e o fator e^{2x} permanece.

Passo 4

Calcular a segunda derivada f''(x) derivando f'(x)=2\,e^{2x}. Como 2 é constante, uso que a derivada de e^{2x} é 2\,e^{2x} novamente:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2\,e^{2x}\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr)=2\cdot\bigl(2\,e^{2x}\bigr)=4\,e^{2x}.
Mostrei passo a passo: primeiro fator constante 2, depois derivada de e^{2x} que traz outro 2.

Passo 5

Analisar o sinal de f''(x)=4\,e^{2x}. Observações sobre os fatores:
  • 4 é um número positivo.
  • Para qualquer x\in\mathbb{R}, e^{2x}>0 (a função exponencial nunca é zero nem negativa; por exemplo e^{0}=1, e^{-1}\approx0{,}367, ambos positivos).
    Multiplicando um número positivo ( 4) por outro sempre positivo ( e^{2x}) obtém-se um número positivo. Portanto, para todo x\in\mathbb{R},
f''(x)=4\,e^{2x}>0.
Não existe x tal que f''(x)=0 ou f''(x)<0, porque e^{2x} nunca é zero nem negativa.

Passo 6

Interpretação final e motivação para a prova: a segunda derivada positiva em todo o domínio significa que a curva de f é estritamente convexa para todos os x. Se surgir uma questão parecida na prova, o procedimento é sempre: calcular f', f'' usando regra da cadeia quando houver exponenciais compostas, e verificar o sinal usando propriedades básicas da exponencial.

Resposta

f''(x)=4\,e^{2x}>0 para todo x\in\mathbb{R}.
f''(x) não é negativa em nenhum ponto (não existe x tal que f''(x)<0).

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