Verifique os intervalos onde as derivadas de segunda ordem das seguintes funções são positivas e negativas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar os intervalos onde a derivada de segunda ordem
é positiva e onde é negativa.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - Pergunta-se onde
e onde .
Passo 2
Lembrete útil (fórmula que vou usar): a derivada da função composta
é dada pela regra da cadeia,
Aqui
é uma função de
e
é a sua derivada. Vou aplicar isso com
.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
. Tomando
temos
. Aplicando a fórmula do passo anterior:
Explicando: a constante
vem de derivar
, e o fator
permanece.
Passo 4
Calcular a segunda derivada
derivando
. Como
é constante, uso que a derivada de
é
novamente:
Mostrei passo a passo: primeiro fator constante
, depois derivada de
que traz outro
.
Passo 5
Analisar o sinal de
. Observações sobre os fatores:
-
é um número positivo. - Para qualquer
, (a função exponencial nunca é zero nem negativa; por exemplo , , ambos positivos).
Multiplicando um número positivo () por outro sempre positivo ( ) obtém-se um número positivo. Portanto, para todo ,
Não existe
tal que
ou
, porque
nunca é zero nem negativa.
Passo 6
Interpretação final e motivação para a prova: a segunda derivada positiva em todo o domínio significa que a curva de
é estritamente convexa para todos os
. Se surgir uma questão parecida na prova, o procedimento é sempre: calcular
usando regra da cadeia quando houver exponenciais compostas, e verificar o sinal usando propriedades básicas da exponencial.