1. Dada a função f(x)=\frac{2+\sqrt{x-3}}{3\left(x-\frac{1}{3}\right)} determina:
    a. O domínio.
    b. Os zeros da função.
    c. Analisa a paridade.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2+\sqrt{x-3}}{3\bigl(x-\tfrac13\bigr)}
e pede:
a. o domínio;
b. os zeros;
c. a paridade.
Para isso vamos usar:
  • restrição de radiciação x-3\ge0;
  • proibição de divisão por zero;
  • definição de zero f(x)=0 quando o numerador é zero);
  • definição de paridade (domínio simétrico e comparação f(-x) com \pm f(x).

Passo 2

Para o domínio precisamos que o termo dentro da raiz seja não negativo e que o denominador não zere:
  1. \sqrt{x-3} exige
x - 3 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 3.
  1. O denominador 3\bigl(x-\tfrac13\bigr)\neq0 exige
x - \tfrac13 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x \neq \tfrac13.
Como \tfrac13<3, a única restrição relevante é x\ge3.

Passo 3

Zero de f ocorre quando o numerador se anula, isto é,
2+\sqrt{x-3}=0 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x-3}=-2.
Mas \sqrt{x-3}\ge0 nunca é -2. Logo não há solução.

Passo 4

Para f ser par ou ímpar, o domínio deveria ser simétrico em torno de zero, isto é, se x está no domínio, -x também deveria estar. Aqui o domínio é [3,\infty), que não é simétrico em relação a zero. Portanto f não pode ser nem par nem ímpar.

Resposta

a. \displaystyle [3,\infty)
b. não possui zeros
c. f não é nem par nem ímpar

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