1. Dada a função f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}} determina:
    a. O domínio.
    b. Os zeros da função.

Passo 1

O enunciado dá a função \r
\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}} \r
e pede: \r
– (a) o domínio, ou seja, todos os x reais em que a função está bem definida; \r
– (b) os zeros, isto é, os valores de x que fazem f(x)=0. \r
Para isso, vamos usar as propriedades de radicais e condições de existência de frações.

Passo 2

Para achar o domínio, impomos duas condições: \r
  1. O radicando de \sqrt{x-1} deve ser não negativo, então \r
\;x-1\ge0\;\Longrightarrow\;x\ge1. \r
  1. O radicando de \sqrt{x} deve ser não negativo e, como ele está no denominador, não pode ser zero. Mas, como já teremos x\ge1, a única restrição adicional é garantir que não estejamos em x=0, o que está automaticamente satisfeito. Portanto o domínio é \r
\boxed{[1,\infty)}.

Passo 3

Para encontrar os zeros, resolvemos \r
\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}}=0. \r
Numa fração, isso ocorre exatamente quando o numerador é zero (e o denominador é não nulo). Logo \r
\sqrt{x-1}=0\;\Longrightarrow\;x-1=0\;\Longrightarrow\;x=1. \r
Como x=1 pertence ao domínio e faz \sqrt{x}=1\neq0, concluímos que o único zero é \r
\boxed{x=1}.

Resposta

(a) [1,\infty) \r
(b) x=1

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