1. No binómio \left(x+\frac{1}{x}\right)^{14}, calcula:
    a. A ordem eo valor do termo independente.
    b. O coeficiente do termo x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a expansão do binómio \bigl(x+\frac{1}{x}\bigr)^{14} e, a partir dela, calcular:
a) a ordem (posição) e o valor do termo independente;
b) o coeficiente do termo x^{2}.

Passo 2

Para obter o termo geral, note que ao desenvolver
\bigl(x+\tfrac{1}{x}\bigr)^{14}
pelo Teorema de Binómio, o termo associado a um inteiro k (com 0\le k\le14) é
T_{k+1} =\binom{14}{k}\,x^{k}\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)^{14-k} =\binom{14}{k}\,x^{2k-14}.
Logo, o expoente de x em T_{k+1} é 2k-14.

Passo 3

Para o termo independente (expoente zero) impomos
2k-14=0\quad\Longrightarrow\quad k=7.
Esse é o 8º termo (pois T_{k+1}=T_{8}) e seu valor é
\binom{14}{7}=3432.

Passo 4

Para achar o coeficiente de x^{2} impomos
2k-14=2\quad\Longrightarrow\quad k=8.
Assim, o coeficiente procurado é
\binom{14}{8} = 3003.

Resposta

a) O termo independente é o 8º termo e vale 3432.
b) O coeficiente de x^{2} é 3003.

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