1. Dada a função f(x)=\frac{x^{3}-1}{\sqrt{x^{2}-1}} determina:
    a. O domínio.
    b. Os zeros da função.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x^{3}-1}{\sqrt{x^{2}-1}}
e pede (a) o domínio e (b) os zeros. Vamos usar
  1. condições para que a raiz quadrada esteja definida e no denominador,
  2. fatoração do numerador para achar onde f(x)=0.

Passo 2

Para achar o domínio precisamos que o denominador seja real e não nulo, ou seja,
x^{2}-1>0.
Esse é um produto de fatores
(x-1)(x+1)>0.
Analisando sinais, isso ocorre quando x<-1 ou x>1. Logo, o domínio é
(-\infty,-1)\cup(1,\infty).

Passo 3

Os zeros da função são as soluções de
x^{3}-1=0.
Fatorando,
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
A única raiz real é x=1 (as outras duas são complexas). Mas x=1 não pertence ao domínio, pois está excluído. Portanto não há nenhum x real em que f(x)=0.

Resposta

a. O domínio é (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
b. Não existem zeros reais, ou seja, nenhum x tal que f(x)=0.

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