Dada a função f(x) = { 1, 0 < x < 1; 0, 1 < x < 2 },
Desenvolva f(x) em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de f(x) de período 4 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenvolver a função , que vale 1 entre 0 e 1 e 0 entre 1 e 2, em uma série de Fourier de co-senos. Além disso, precisamos desenhar o gráfico da extensão periódica dessa função com período 4. Vamos trabalhar com séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e co-senos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que como a função é definida no intervalo de 0 a 2 e queremos uma extensão periódica de período 4, isso significa que vamos considerar o intervalo de a para facilitar o desenvolvimento em série de Fourier. Mas nosso foco será na série de co-senos, que é adequada para funções pares.

Passo 3

A série de Fourier de co-senos para uma função em um intervalo é dada por:
Aqui, é a metade do período, então no nosso caso, .

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes e . Eles são definidos por:
Com , substituímos na fórmula.

Passo 5

Calculando :
Sabemos que de 0 a 1 e 0 de 1 a 2, então:

Passo 6

Agora, vamos calcular :
De novo, dividimos a integral nos intervalos onde é 1 e 0:

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 8

Vamos simplificar . Observando que varia dependendo de :
  • Se for ímpar, será .
  • Se for par, .
Portanto, apenas os termos ímpares contribuem para a série.

Passo 9

Assim, podemos escrever os coeficientes para ímpar ( ):
Isso porque para ímpar.

Passo 10

Agora, juntando tudo na série de Fourier de co-senos:

Passo 11

Finalmente, para desenhar o gráfico da extensão periódica de com período 4, repetimos o comportamento da função definida de 0 a 2 para todo múltiplo de 4. Ou seja, a função será:

Resposta

A série de Fourier de co-senos para a função é:
E o gráfico da extensão periódica de com período 4 é uma função que alterna entre 1 e 0 em intervalos de 1 unidade, repetindo esse padrão a cada 4 unidades no eixo .

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