Determine as assíntotas horizontais e verticais da função dada por
f(x)=(x^2+1)/(3x-2x^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função . Vamos precisar usar conceitos de limites e comportamento de funções racionais para identificar essas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as assíntotas verticais. Elas acontecem onde o denominador da função é zero, pois a função tende ao infinito nesses pontos.
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:

Passo 3

Vamos fatorar a equação:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, as assíntotas verticais estão em e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para funções racionais, comparamos os graus do numerador e do denominador:
  • Grau do numerador ( ): 2
  • Grau do denominador ( ): 2
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 5

Os coeficientes dos são:
  • Numerador: 1
  • Denominador: -2
Então, a assíntota horizontal é:

Resposta

A função possui assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em .

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