Dada a função f(x, y)=x^{3} y+x^{2} y^{2}+x y^{3}-x^{2} y^{3}-x^{2} y^{2}+x^{2} y determine as derivadas parciais:
\frac{\partial^{3 f}}{\partial y \partial x^{2}} ; \quad \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} ; \quad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} ; \quad \frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial y^{2}} ; \quad \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y} ; \quad \frac{\partial^{4} f}{\partial x \partial y^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}-x^{2}y^{3}-x^{2}y^{2}+x^{2}y
e pede as seguintes derivadas parciais (na ordem dada):
\frac{\partial^{3} f}{\partial y \partial x^{2}};\quad \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y};\quad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}};\quad \frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial y^{2}};\quad \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y};\quad \frac{\partial^{4} f}{\partial x \partial y^{3}}.
Informações relevantes fornecidas: a função é um polinômio em x e y; todas as derivadas mistas necessárias existem e podem ser calculadas term a term. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão de f combinando termos iguais. A função dada é
f(x,y)=x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}-x^{2}y^{3}-x^{2}y^{2}+x^{2}y.
Os termos x^{2}y^{2} e -x^{2}y^{2} se cancelam. Logo, uma forma mais simples é
f(x,y)=x^{3}y + x y^{3} - x^{2}y^{3} + x^{2}y.
Vou trabalhar com essa forma porque facilita as derivadas termo a termo.

Passo 3

Lembrete rápido sobre derivada parcial e regras usadas (mini-aula):
  • Derivada parcial em relação a x: tratamos y como constante e aplicamos as regras usuais de derivação (regra de potência, multiplicação por constante).
  • Regra de potência: a derivada de \,x^{n}\, em relação a x é \,n x^{n-1}.
  • Quando temos um produto do tipo x^{m}y^{n} e derivamos em relação a x, y^{n} é constante, então \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{m}y^{n}\big)=m x^{m-1} y^{n}.
  • Análogo para derivar em relação a y.
Vou aplicar essas regras termo a termo.

Passo 4

Calculo a derivada parcial de primeira ordem em x, \frac{\partial f}{\partial x}, derivando cada termo de
f(x,y)=x^{3}y + x y^{3} - x^{2}y^{3} + x^{2}y.
Termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}y)=3x^{2}y,
\frac{\partial}{\partial x}(x y^{3})=y^{3},
\frac{\partial}{\partial x}(-x^{2}y^{3})=-2x y^{3},
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=2x y.
Somando,
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y + y^{3} - 2x y^{3} + 2x y.

Passo 5

Agora obtenho \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} derivando \frac{\partial f}{\partial x} em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y + y^{3} - 2x y^{3} + 2x y.
Derivando termo a termo em x:
\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}y)=6xy,
\frac{\partial}{\partial x}(y^{3})=0\quad(\text{pois }y\text{ é constante aqui}),é
\frac{\partial}{\partial x}(-2x y^{3})=-2 y^{3},
\frac{\partial}{\partial x}(2x y)=2 y.
Logo
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6xy - 2y^{3} + 2y.

Passo 6

Para calcular \frac{\partial^{3} f}{\partial y \partial x^{2}} eu derivarei \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} em relação a y. Tomando
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6xy - 2y^{3} + 2y,
derivo em y:
\frac{\partial}{\partial y}(6xy)=6x,
\frac{\partial}{\partial y}(-2y^{3})=-6y^{2},
\frac{\partial}{\partial y}(2y)=2.
Somando, obtenho
\frac{\partial^{3} f}{\partial y \partial x^{2}}=6x + 2 - 6y^{2}.

Passo 7

Agora calculo derivadas que começam por derivar em y. Primeiro a derivada parcial de primeira ordem em y:
f(x,y)=x^{3}y + x y^{3} - x^{2}y^{3} + x^{2}y.
Derivando em y termo a termo:
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{3} + 3x y^{2} - 3x^{2} y^{2} + x^{2}.

Passo 8

A partir daí calculo \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}, que é derivar \frac{\partial f}{\partial y} em relação a x. Tomando
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{3} + 3x y^{2} - 3x^{2} y^{2} + x^{2},
derivo em x:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{3})=3x^{2},
\frac{\partial}{\partial x}(3x y^{2})=3 y^{2},
\frac{\partial}{\partial x}(-3x^{2} y^{2})=-6x y^{2},
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
Somando,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=3x^{2}+3y^{2}-6x y^{2}+2x.
Observação: por teorema de igualdade das derivadas mistas (Clairaut), esse resultado coincide com \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} que poderia ser obtido derivando \frac{\partial f}{\partial x} em y.

Passo 9

Calculo \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} derivando \frac{\partial f}{\partial y} em y. Lembre que
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{3} + 3x y^{2} - 3x^{2} y^{2} + x^{2}.
Derivando em y:
\frac{\partial}{\partial y}(x^{3})=0,
\frac{\partial}{\partial y}(3x y^{2})=6x y,
\frac{\partial}{\partial y}(-3x^{2} y^{2})=-6x^{2} y,
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0.
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=6x y - 6x^{2} y = 6xy(1-x).

Passo 10

Calculo \frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial y^{2}}. Posso derivar \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} em x. Tomando
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=6x y - 6x^{2} y,
derivando em x:
\frac{\partial}{\partial x}(6x y)=6y,
\frac{\partial}{\partial x}(-6x^{2} y)=-12x y.
Logo
\frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial y^{2}}=6y - 12x y.

Passo 11

Calculo \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y}. Uma forma é derivar \frac{\partial f}{\partial y} duas vezes em x. Já temos em passos anteriores:
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{3} + 3x y^{2} - 3x^{2} y^{2} + x^{2},
\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=3x^{2}+3y^{2}-6x y^{2}+2x.
Derivando esta última em x:
\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2})=6x,
\frac{\partial}{\partial x}(3y^{2})=0,
\frac{\partial}{\partial x}(-6x y^{2})=-6y^{2},
\frac{\partial}{\partial x}(2x)=2.
Somando,
\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y}=6x + 2 - 6y^{2}.
Note que esse resultado coincide com \frac{\partial^{3} f}{\partial y \partial x^{2}} (concordância das derivadas mistas para funções suaves).

Passo 12

Finalmente calculo \frac{\partial^{4} f}{\partial x \partial y^{3}}. Primeiro obtenho a derivada terceira em y: a partir de
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=6x y - 6x^{2} y,
derivo em y para achar \frac{\partial^{3} f}{\partial y^{3}}:
\frac{\partial^{3} f}{\partial y^{3}}=6x - 6x^{2}=6x(1-x).
Agora derivo essa expressão em x (pois a notação \frac{\partial^{4} f}{\partial x \partial y^{3}} aplica \partial/\partial x por último):
\frac{\partial}{\partial x}(6x - 6x^{2})=6 - 12x.
Portanto
\frac{\partial^{4} f}{\partial x \partial y^{3}}=6 - 12x.

Resposta

\frac{\partial^{3} f}{\partial y \partial x^{2}}=6x+2-6y^{2}
\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=3x^{2}+3y^{2}-6x y^{2}+2x
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=6x y-6x^{2} y
\frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial y^{2}}=6y-12x y
\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y}=6x+2-6y^{2}
\frac{\partial^{4} f}{\partial x \partial y^{3}}=6-12x

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