Dada a função
determine as derivadas parciais:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as seguintes derivadas parciais (na ordem dada):
Informações relevantes fornecidas: a função é um polinômio em
e
; todas as derivadas mistas necessárias existem e podem ser calculadas term a term. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Primeiro simplifico a expressão de
combinando termos iguais. A função dada é
Os termos
e
se cancelam. Logo, uma forma mais simples é
Vou trabalhar com essa forma porque facilita as derivadas termo a termo.
Passo 3
Lembrete rápido sobre derivada parcial e regras usadas (mini-aula):
- Derivada parcial em relação a
: tratamos como constante e aplicamos as regras usuais de derivação (regra de potência, multiplicação por constante). - Regra de potência: a derivada de
em relação a é . - Quando temos um produto do tipo
e derivamos em relação a , é constante, então . - Análogo para derivar em relação a
.
Vou aplicar essas regras termo a termo.
Passo 4
Calculo a derivada parcial de primeira ordem em
,
, derivando cada termo de
Termo a termo:
Somando,
Passo 5
Agora obtenho
derivando
em relação a
:
Derivando termo a termo em
:
Logo
Passo 6
Para calcular
eu derivarei
em relação a
. Tomando
derivo em
:
Somando, obtenho
Passo 7
Agora calculo derivadas que começam por derivar em
. Primeiro a derivada parcial de primeira ordem em
:
Derivando em
termo a termo:
Passo 8
A partir daí calculo
, que é derivar
em relação a
. Tomando
derivo em
:
Somando,
Observação: por teorema de igualdade das derivadas mistas (Clairaut), esse resultado coincide com
que poderia ser obtido derivando
em
.
Passo 9
Calculo
derivando
em
. Lembre que
Derivando em
:
Portanto
Passo 10
Calculo
. Posso derivar
em
. Tomando
derivando em
:
Logo
Passo 11
Calculo
. Uma forma é derivar
duas vezes em
. Já temos em passos anteriores:
Derivando esta última em
:
Somando,
Note que esse resultado coincide com
(concordância das derivadas mistas para funções suaves).
Passo 12
Finalmente calculo
. Primeiro obtenho a derivada terceira em
: a partir de
derivo em
para achar
:
Agora derivo essa expressão em
(pois a notação
aplica
por último):
Portanto