Dada a função real f(x)=-2 x^{2}-3 x+7, determine:
f(x-1)

Passo 1

O enunciado dá a função real f(x) = -2x^{2} - 3x + 7 e pede para calcular f(x-1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão para f(x) é -2x^{2} - 3x + 7.
  • O que se quer é o valor de f no ponto x-1, isto é, substituir x por x-1 na expressão de f.

Passo 2

Explicação do procedimento: calcular f(x-1) significa pegar a fórmula de f e substituir cada ocorrência de x por x-1. Não é necessário outro truque além disso; depois fazemos as operações algébricas (expansão e soma de termos semelhantes).

Passo 3

Escrevendo a substituição explicitamente:
f(x-1) = -2\,(x-1)^{2} - 3\,(x-1) + 7.

Passo 4

Expandir o quadrado (x-1)^{2}. Usando a identidade do quadrado da diferença:
(x-1)^{2} = x^{2} - 2x + 1.
(Justificativa: (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} com a=x e b=1.)

Passo 5

Substituir a expansão em f(x-1) e distribuir o fator -2:
-2\,(x-1)^{2} = -2\,(x^{2}-2x+1) = -2x^{2} + 4x - 2.
(Aqui foi usada a propriedade distributiva: -2\cdot x^{2} = -2x^{2}, -2\cdot(-2x)=4x, -2\cdot1=-2.)

Passo 6

Expandir o termo linear -3\,(x-1) pela distributiva:
-3\,(x-1) = -3x + 3.

Passo 7

Agora somar todos os termos obtidos:
f(x-1) = \bigl(-2x^{2} + 4x - 2\bigr) + \bigl(-3x + 3\bigr) + 7.
Agrupando os termos semelhantes:
\text{coeficiente de }x^{2}:\\\ -2x^{2},
\text{coeficiente de }x:\\\ 4x - 3x = x,
\text{termos constantes}:\\\ -2 + 3 + 7 = 8.
Portanto a expressão simplificada é
-2x^{2} + x + 8.

Passo 8

Checagem rápida (controle): tomar x=2. Então f(1) pela definição é
f(1) = -2\cdot1^{2} - 3\cdot1 + 7 = -2 - 3 + 7 = 2.
Usando a expressão encontrada com x=2:
-2\cdot2^{2} + 2 + 8 = -8 + 2 + 8 = 2.
Coincidem, o que dá confiança de que a expansão está correta.

Resposta

f(x-1) = -2x^{2} + x + 8

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