Dada a função real f(x)=-2 x^{2}-3 x+7, determine:
o valor de x para o qual f(x)=2.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: foi dada a função f(x)=-2x^{2}-3x+7 e é solicitado encontrar o(s) valor(es) de x tais que f(x)=2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de f(x) é -2x^{2}-3x+7.
  • Queremos resolver a equação f(x)=2.

Passo 2

Escrever a equação que precisa ser resolvida. Igualando f(x) a 2 obtemos:
-2x^{2}-3x+7 = 2.

Passo 3

Colocar a equação na forma quadrática padrão ax^{2}+bx+c=0. Subtraindo 2 de ambos os lados:
-2x^{2}-3x+5 = 0.
Multiplicar a equação por -1 (operação válida que facilita os cálculos) para obter coeficiente principal positivo:
2x^{2}+3x-5 = 0.
Aqui os coeficientes são a=2, b=3 e c=-5.

Passo 4

Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Explicar a fórmula: a, b e c são os coeficientes da equação ax^{2}+bx+c=0. O discriminante é \Delta = b^{2}-4ac; se \Delta>0 há duas raízes reais diferentes, se \Delta=0 há uma raiz real dupla, e se \Delta<0 não há raízes reais.
Calcular o discriminante:
\Delta = 3^{2}-4\cdot2\cdot(-5) = 9 + 40 = 49.
Como \Delta=49>0, teremos duas raízes reais distintas.

Passo 5

Calcular as raízes com a fórmula:
x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2\cdot2} = \frac{-3 \pm 7}{4}.
Agora separar as duas soluções:
x_{1} = \frac{-3+7}{4} = \frac{4}{4} = 1,
x_{2} = \frac{-3-7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (substituir de volta em f) para garantir que não houve erro:
Para x=1:
f(1) = -2\cdot1^{2}-3\cdot1+7 = -2-3+7 = 2.
Para x=-\tfrac{5}{2}:
f\!\left(-\tfrac{5}{2}\right) = -2\cdot\left(-\tfrac{5}{2}\right)^{2}-3\cdot\left(-\tfrac{5}{2}\right)+7 = -2\cdot\tfrac{25}{4}+\tfrac{15}{2}+7 = -\tfrac{50}{4}+\tfrac{30}{4}+\tfrac{28}{4} = \tfrac{8}{4} = 2.
Portanto ambas as soluções estão corretas.

Resposta

x=1
x=-\tfrac{5}{2}

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