Determine o domínio das funções reais abaixo:
f(x)=\frac{2 x+1}{2 x^{2}-3 x-2}

Passo 1

O enunciado dá a função real
f(x)=\frac{2x+1}{2x^{2}-3x-2}
e pede: determinar o domínio (ou seja, todos os valores reais de x para os quais a expressão está bem definida). Informações relevantes:
  • A função é uma fração (função racional) formada por numerador 2x+1 e denominador 2x^{2}-3x-2.
  • Para que a função seja definida, o denominador não pode ser zero.

Passo 2

Regra básica (explicada): uma expressão da forma \dfrac{P(x)}{Q(x)} está definida somente quando Q(x)\neq0. Isso porque dividir por zero não é permitido — não existe número real que multiplicado por zero dê um número não zero. Logo, para achar o domínio basta encontrar os x que anulam o denominador e excluí‑los.

Passo 3

Vamos determinar os zeros do denominador \,2x^{2}-3x-2. Uma forma prática é tentar fatorar o polinômio. Procura-se fatores lineares do tipo (ax+b)(cx+d) que multipliquem para dar 2x^{2}-3x-2.
Tentar o produto (2x+1)(x-2). Fazer a multiplicação para conferir:
(2x+1)(x-2)=2x\cdot x + 2x\cdot(-2) + 1\cdot x + 1\cdot(-2)=2x^{2}-4x+x-2=2x^{2}-3x-2.
Portanto a fatoração está correta e
2x^{2}-3x-2=(2x+1)(x-2).

Passo 4

Agora resolvemos (2x+1)(x-2)=0. Uma propriedade útil: um produto é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero. Assim:
2x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{1}{2},
x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Portanto o denominador zera em x=-\tfrac{1}{2} e em x=2.

Passo 5

Observação importante sobre cancelamento: o numerador é 2x+1, que também zera em x=-\tfrac{1}{2}. Isso significa que, algebricamente, a expressão pode ser simplificada (para x\neq -\tfrac{1}{2}) como
\frac{2x+1}{(2x+1)(x-2)}=\frac{1}{x-2}\quad\text{quando }x\neq -\tfrac{1}{2}.
No entanto, mesmo havendo essa simplificação, a expressão original \dfrac{2x+1}{2x^{2}-3x-2} não está definida nos pontos onde o denominador é zero. Em x=-\tfrac{1}{2} temos uma forma 0/0 (indeterminação) e em x=2 temos divisão por zero com numerador não nulo. Em ambos os casos o valor da expressão original não existe. Portanto ambos os pontos devem ser excluídos do domínio.

Passo 6

Conclusão: o domínio é o conjunto de todos os reais, exceto os valores que anulam o denominador, ou seja x\neq -\tfrac{1}{2} e x\neq 2. Em notação de intervalos,
(-\infty,-\tfrac{1}{2})\cup(-\tfrac{1}{2},2)\cup(2,\infty).

Resposta

\mathbb{R}\setminus\left\{-\tfrac{1}{2},\,2\right\}

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