Determine o domínio das funções reais abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função real
e pede: determinar o domínio (ou seja, todos os valores reais de
para os quais a expressão está bem definida). Informações relevantes:
- A função é uma fração (função racional) formada por numerador
e denominador . - Para que a função seja definida, o denominador não pode ser zero.
Passo 2
Regra básica (explicada): uma expressão da forma
está definida somente quando
. Isso porque dividir por zero não é permitido — não existe número real que multiplicado por zero dê um número não zero. Logo, para achar o domínio basta encontrar os
que anulam o denominador e excluí‑los.
Passo 3
Vamos determinar os zeros do denominador
. Uma forma prática é tentar fatorar o polinômio. Procura-se fatores lineares do tipo
que multipliquem para dar
.
Tentar o produto
. Fazer a multiplicação para conferir:
Portanto a fatoração está correta e
Passo 4
Agora resolvemos
. Uma propriedade útil: um produto é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero. Assim:
Portanto o denominador zera em
e em
.
Passo 5
Observação importante sobre cancelamento: o numerador é
, que também zera em
. Isso significa que, algebricamente, a expressão pode ser simplificada (para
) como
No entanto, mesmo havendo essa simplificação, a expressão original
não está definida nos pontos onde o denominador é zero. Em
temos uma forma
(indeterminação) e em
temos divisão por zero com numerador não nulo. Em ambos os casos o valor da expressão original não existe. Portanto ambos os pontos devem ser excluídos do domínio.
Passo 6
Conclusão: o domínio é o conjunto de todos os reais, exceto os valores que anulam o denominador, ou seja
e
. Em notação de intervalos,