Dada a função de transferência, encontre a resposta do estado nulo para uma entrada degrau ( u[n]) e determine a estabilidade do sistema (2 pontos)
H(z)=10 zz^2+3 z+2

Passo 1

Então, o enunciado pede para a gente achar a resposta ao degrau (zero‐state) de um sistema discreto com função de transferência
H(z)=10,zz^2+3z+2
e também decidir se o sistema é estável.
Conteúdo: transformada Z, resposta ao degrau via , frações parciais e estabilidade pelo lugar dos polos. Vamos precisar de:
  • Transformada Z do degrau , que é .
  • Decompor em frações parciais e inverter a Z‐transformada.
  • Checar onde estão os polos (se dentro do círculo unitário) para ver estabilidade.

Passo 2

Montar Y(z)=10,zz^2+3z+2;times;zz-1 =10,z^2(z-1)(z+1)(z+2) . Como ,
Isso é só multiplicar polinômios no domínio de Z.

Passo 3

Agora, a gente separa em frações parciais:
10,z^2(z-1)(z+1)(z+2) =Az-1+Bz+1+Cz+2
Multiplicando tudo por 10,z^2 = A(z+1)(z+2) + B(z-1)(z+2) + C(z-1)(z+1) :
Y(z)=5/3z-1-5z+1+40/3z+2
Para achar , fazemos :
  • :
  • :
  • :
Então

Passo 4

Para inverter a transformada Z, lembramos que
Z^-11z-a = a^n,u[n],
se o sistema for causal (ROC y[n] = 53,u[n] ;-;5,(-1)^n,u[n];+;403,(-2)^n,u[n] ). Aqui os termos são:
  • vira .
  • vira .
  • vira .
Logo, a resposta zero‐state é

Passo 5

Verificando estabilidade via polos de : são e .
  • Para BIBO estabilidade, todos os polos têm de estar estritamente dentro do círculo unitário ( ).
  • Aqui e : um polo está na fronteira e outro fora.
    Resultado: o sistema não é estável.

Resposta

Resposta ao degrau (estado nulo):
boxedy[n] = 53,u[n] ;-;5,(-1)^n,u[n];+;403,(-2)^n,u[n]
Estabilidade: o sistema não é estável.

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