Dada a função de transferência, encontre a resposta do estado nulo para uma entrada degrau (
) e determine a estabilidade do sistema (2 pontos)
Passo 1
Então, o enunciado pede para a gente achar a resposta ao degrau (zero‐state) de um sistema discreto com função de transferência
e também decidir se o sistema é estável.
Conteúdo: transformada Z, resposta ao degrau via , frações parciais e estabilidade pelo lugar dos polos. Vamos precisar de:
Conteúdo: transformada Z, resposta ao degrau via
- Transformada Z do degrau
, que é . - Decompor em frações parciais e inverter a Z‐transformada.
- Checar onde estão os polos (se dentro do círculo unitário) para ver estabilidade.
Passo 2
Montar
. Como
,
Isso é só multiplicar polinômios no domínio de Z.
Passo 3
Agora, a gente separa em frações parciais:
Multiplicando tudo por
:
Para achar
, fazemos
:
-
: -
: -
:
Então
Passo 4
Para inverter a transformada Z, lembramos que
se o sistema for causal (ROC
). Aqui os termos são:
-
vira . -
vira . -
vira .
Logo, a resposta zero‐state é
Passo 5
Verificando estabilidade via polos de
: são
e
.
- Para BIBO estabilidade, todos os polos têm de estar estritamente dentro do círculo unitário (
). - Aqui
e : um polo está na fronteira e outro fora.
Resultado: o sistema não é estável.
Resposta
Resposta ao degrau (estado nulo):
Estabilidade: o sistema não é estável.