Prove se os sistemas são linear ou não linear (1 ponto):
y[n+2]+3 y[n]+y[n]=x[n]

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente verificar se o sistema
y[n+2] + 3,y[n] + y[n] ;=; x[n]
é linear ou não.
Matéria: Sistemas Lineares em Tempo Discreto.
O que vamos precisar: entender o que é linearidade (princípio da superposição: aditividade + homogeneidade) e aplicar isso aqui de leve, passo a passo.

Passo 2

Antes de tudo, o que é ser linear?
  1. Aditividade: se o input for a soma de dois sinais, a saída tem que ser a soma das duas saídas individuais.
  2. Homogeneidade (ou conservação de escala): se eu multiplicar o sinal de entrada por uma constante, a saída também deve ser multiplicada por essa mesma constante.
    Juntando os dois: para quaisquer sinais Ta,x1[n] + b,x2[n] ;=; a,Tx1[n] ;+; b,Tx2[n] , e constantes , o sistema é linear se

Passo 3

Vamos testar isso no nosso sistema.
  1. Seja y1[n+2] + 3,y1[n] + y1[n] = x1[n] a primeira entrada, que gera a saída y2[n+2] + 3,y2[n] + y2[n] = x2[n] . Então vale
x[n] = a,x1[n] + b,x2[n]
  1. Seja y[n] = a,y1[n] + b,y2[n] a segunda entrada, com saída y[n+2] + 3,y[n] + y[n] &= a,y1[n+2] + b,y2[n+2] ;+; 3l(a,y1[n] + b,y2[n]r) ;+;l(a,y1[n] + b,y2[n]r) [6pt] &= al(y1[n+2]+3y1[n]+y1[n]r) ;+; bl(y2[n+2]+3y2[n]+y2[n]r) [4pt] &= a,x1[n] + b,x2[n] ;=; x[n] :
  1. Agora forma a combinação linear na entrada:
Proponho que a saída correspondente seja
  1. Vamos checar se esse satisfaz a equação do sistema:
Ou seja, de fato .

Resposta

O sistema é linear.

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