Dada a função de transferência malha fechada abaixo, verifique a estabilidade do sistema, ou seja, se é estável ou instável,

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência em malha fechada
Y(z)R(z) = 10,z^-1 + 5,z^-21 - 1,2,z^-1 + 0,2,z^-2
e pede para verificar a estabilidade do sistema. Para um sistema discreto em z-domínio, ele é BIBO estável se e somente se todos os polos (raízes do denominador) satisfazem |zi|<1.

Passo 2

Escrevemos a equação característica em forma polinomial em z. Multiplicando numerador e denominador por z^2, o denominador fica
z^2 - 1,2,z + 0,2 = 0

Passo 3

Calculamos as raízes usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
De<a = ( -1,2 )^2 - 4 cdot 1 cdot 0,2 = 1,44 - 0,8 = 0,64,
logo raizDe<a=0,8. As raízes são
z1,2 = 1,2 pm 0,82 Longrightarrow z1 = 1,2+0,82=1, z2 = 1,2-0,82=0,2

Passo 4

Verificamos as magnitudes:
|z1| = |1| = 1, |z2| = |0,2| = 0,2
Como um dos polos satisfaz |z1|=1 (na fronteira do círculo unitário) e não estritamente |z|<1, o sistema não é BIBO estável (é marginalmente instável).

Resposta

O sistema é instável (possui um polo em z=1, na fronteira do círculo unitário).

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