Dada a função de transferência GP(s) de uma planta industrial explicitada abaixo, elabore detalhadamente os gráficos dos lugares das raízes considerando um controlador PI sob as seguintes condições: (a) KI / KP=0.5, (b) KI / KP=1.5 e © KI / KP=2.5.
GP(s)=1s^2+3 s+2 H(s)=1

Passo 1

Então, vamos lá! O que temos aqui é um exercício sobre controle de sistemas, especificamente usando um controlador PI (Proporcional-Integral) aplicado a uma planta industrial. A função de transferência da planta é dada por:
GP(s)=1s^2+3 s+2
E o ganho do sensor é . Nosso objetivo é elaborar os gráficos dos lugares das raízes (root locus) quando aplicamos um controlador PI com diferentes relações entre e . Para isso, vamos precisar entender o que é um controlador PI, como montar a função de transferência em malha aberta e depois traçar o root locus para cada caso da relação .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um controlador PI. Ele combina uma ação proporcional ( GC(s) = KP + KIs = KP s + KIs ) e uma ação integral ( ). A função de transferência de um controlador PI é:
Aqui, é o ganho proporcional e é o ganho integral. Esse controlador ajuda a eliminar o erro estacionário e melhorar a resposta do sistema.

Passo 3

Agora, vamos montar a função de transferência em malha aberta do sistema controlado. Isso é feito multiplicando a função de transferência do controlador Gol(s) = GC(s) cdot GP(s) cdot H(s) = KP s + KIs cdot 1s^2+3s+2 cdot 1 = KP s + KIs(s^2+3s+2) , a da planta e o ganho do sensor :

Passo 4

Para facilitar a análise, vamos expressar KI = alpha KP em termos de Gol(s) = KP s + alpha KPs(s^2+3s+2) = KP cdot s + alphas(s^2+3s+2) usando a relação dada , onde pode ser 0.5, 1.5 ou 2.5 para os casos (a), (b) e © respectivamente. Assim, temos:
Substituindo na função de transferência em malha aberta:
Agora, podemos considerar como o ganho do sistema para traçar o root locus.

Passo 5

O root locus nos mostra como os polos do sistema em malha fechada se movem no plano complexo conforme o ganho 1 + Gol(s) = 0 Rightarrow 1 + KP cdot s + alphas(s^2+3s+2) = 0 varia de 0 a infinito. Para traçar o root locus, precisamos da equação característica do sistema:
s(s^2+3s+2) + KP (s + alpha) = 0
Multiplicando tudo por s^3 + 3s^2 + 2s + KP s + KP alpha = 0 :
s^3 + 3s^2 + (2 + KP)s + KP alpha = 0
Ou seja:
Simplificando:
Essa é a equação que vamos usar para analisar o root locus para cada valor de .

Passo 6

Vamos analisar cada caso:

a) s^3 + 3s^2 + (2 + KP)s + 0.5 KP = 0 ( s^3 + 3s^2 + (2 + KP)s + 1.5 KP = 0 )

A equação característica fica:
s^3 + 3s^2 + (2 + KP)s + 2.5 KP = 0
Para traçar o root locus, identificaríamos os polos em (de ) e nos polos da planta que são as raízes de , ou seja, e . Com , o controlador PI adiciona um zero em .

b) ( )

A equação característica fica:
Aqui, o zero do controlador PI está em , o que afeta a trajetória dos polos no root locus, puxando-os em direção a este zero.

c) ( )

A equação característica fica:
Com o zero do controlador PI em , os polos serão mais fortemente influenciados a se moverem em direção a este ponto no plano complexo.

Resposta

Para cada relação :
a) Com , o root locus mostra os polos movendo-se desde , e em direção ao zero em , indicando uma resposta mais estável.
b) Com , os polos se movem em direção ao zero em , ajustando a dinâmica do sistema para melhorar a resposta.
c) Com , os polos direcionam-se para o zero em , possibilitando uma resposta mais rápida, porém exigindo cuidados para evitar instabilidades.
Esses movimentos dos polos no root locus ajudam a entender como o controlador PI ajusta a estabilidade e a resposta do sistema industrial.

Exercícios relacionados