Dada a função de transferência
de uma planta industrial explicitada abaixo, elabore detalhadamente os gráficos dos lugares das raízes considerando um controlador PI sob as seguintes condições: (a)
, (b)
e ©
.
Passo 1
Então, vamos lá! O que temos aqui é um exercício sobre controle de sistemas, especificamente usando um controlador PI (Proporcional-Integral) aplicado a uma planta industrial. A função de transferência da planta é dada por:
E o ganho do sensor é
. Nosso objetivo é elaborar os gráficos dos lugares das raízes (root locus) quando aplicamos um controlador PI com diferentes relações entre
e
. Para isso, vamos precisar entender o que é um controlador PI, como montar a função de transferência em malha aberta e depois traçar o root locus para cada caso da relação
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um controlador PI. Ele combina uma ação proporcional (
) e uma ação integral (
). A função de transferência de um controlador PI é:
Aqui,
é o ganho proporcional e
é o ganho integral. Esse controlador ajuda a eliminar o erro estacionário e melhorar a resposta do sistema.
Passo 3
Agora, vamos montar a função de transferência em malha aberta do sistema controlado. Isso é feito multiplicando a função de transferência do controlador
, a da planta
e o ganho do sensor
:
Passo 4
Para facilitar a análise, vamos expressar
em termos de
usando a relação dada
, onde
pode ser 0.5, 1.5 ou 2.5 para os casos (a), (b) e © respectivamente. Assim, temos:
Substituindo na função de transferência em malha aberta:
Agora, podemos considerar
como o ganho
do sistema para traçar o root locus.
Passo 5
O root locus nos mostra como os polos do sistema em malha fechada se movem no plano complexo conforme o ganho
varia de 0 a infinito. Para traçar o root locus, precisamos da equação característica do sistema:
Multiplicando tudo por
:
Ou seja:
Simplificando:
Essa é a equação que vamos usar para analisar o root locus para cada valor de
.
Passo 6
Vamos analisar cada caso:
a)
(
)
A equação característica fica:
Para traçar o root locus, identificaríamos os polos em
(de
) e nos polos da planta
que são as raízes de
, ou seja,
e
. Com
, o controlador PI adiciona um zero em
.
b)
(
)
A equação característica fica:
Aqui, o zero do controlador PI está em
, o que afeta a trajetória dos polos no root locus, puxando-os em direção a este zero.
c)
(
)
A equação característica fica:
Com o zero do controlador PI em
, os polos serão mais fortemente influenciados a se moverem em direção a este ponto no plano complexo.
Resposta
Para cada relação
:
a) Com
, o root locus mostra os polos movendo-se desde
,
e
em direção ao zero em
, indicando uma resposta mais estável.
b) Com
, os polos se movem em direção ao zero em
, ajustando a dinâmica do sistema para melhorar a resposta.
c) Com
, os polos direcionam-se para o zero em
, possibilitando uma resposta mais rápida, porém exigindo cuidados para evitar instabilidades.
Esses movimentos dos polos no root locus ajudam a entender como o controlador PI ajusta a estabilidade e a resposta do sistema industrial.