Considerando a função de transferência da planta
dada a seguir, elabore um controlador que confira ao sistema de controle de malha fechada condição estável. Indique a faixa de ganho que confere ao sistema comportamentos distintos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente projetar um controlador para a função de transferência da planta
, garantindo que o sistema em malha fechada seja estável. Além disso, precisamos descobrir qual faixa de valores para o ganho
faz o sistema se comportar de maneiras diferentes. Vamos usar conceitos de Controle de Sistemas e Estabilidade de Sistemas de Controle para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que vamos utilizar um controlador proporcional, ou seja,
. Isso é comum porque é simples e serve bem para entender como o ganho afeta a estabilidade do sistema.
Passo 3
Agora, vamos montar a função de transferência do sistema em malha fechada. A fórmula geral para um sistema em malha fechada com controlador proporcional é:
Substituindo
e
, temos:
Passo 4
Para garantir a estabilidade, precisamos analisar os polos da função de malha fechada, que são as raízes do denominador:
Vamos reorganizar isso:
A estabilidade depende de os polos estarem no semiplano esquerdo do plano de
, ou seja, a parte real de
deve ser negativa.
Passo 5
Vamos garantir que a parte real de
seja negativa:
Para resolver essa desigualdade, vamos analisar os casos:
- Quando
(ou seja, ):
- Quando
(ou seja, ):
Mas esse segundo caso
e
não pode ocorrer simultaneamente. Portanto, a única faixa válida que garante a estabilidade é:
Resposta
Para que o sistema de controle em malha fechada seja estável, o ganho
deve estar entre -1 e 1. Ou seja,
Dessa forma, qualquer valor de
dentro dessa faixa garante a estabilidade do sistema, e variações dentro desse intervalo resultam em comportamentos distintos do sistema.