Considerando a função de transferência da planta GP(s) dada a seguir, elabore um controlador que confira ao sistema de controle de malha fechada condição estável. Indique a faixa de ganho que confere ao sistema comportamentos distintos.
GP(s)=s-0.5s+0.5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente projetar um controlador para a função de transferência da planta , garantindo que o sistema em malha fechada seja estável. Além disso, precisamos descobrir qual faixa de valores para o ganho faz o sistema se comportar de maneiras diferentes. Vamos usar conceitos de Controle de Sistemas e Estabilidade de Sistemas de Controle para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que vamos utilizar um controlador proporcional, ou seja, . Isso é comum porque é simples e serve bem para entender como o ganho afeta a estabilidade do sistema.

Passo 3

Agora, vamos montar a função de transferência do sistema em malha fechada. A fórmula geral para um sistema em malha fechada com controlador proporcional é:
Gmf(s) = GC(s) cdot GP(s)1 + GC(s) cdot GP(s)
Substituindo Gmf(s) = K cdot s - 0.5s + 0.51 + K cdot s - 0.5s + 0.5 = K(s - 0.5)s + 0.5 + K(s - 0.5) e , temos:

Passo 4

Para garantir a estabilidade, precisamos analisar os polos da função de malha fechada, que são as raízes do denominador:
s + 0.5 + K(s - 0.5) = 0
Vamos reorganizar isso:
s(1 + K) + 0.5 - 0.5K = 0 s(1 + K) = -0.5 + 0.5K s = -0.5 + 0.5K1 + K
A estabilidade depende de os polos estarem no semiplano esquerdo do plano de , ou seja, a parte real de deve ser negativa.

Passo 5

Vamos garantir que a parte real de -0.5 + 0.5K1 + K < 0 seja negativa:
-0.5 + 0.5K < 0 -0.5 + 0.5K < 0 0.5K < 0.5 K < 1
Para resolver essa desigualdade, vamos analisar os casos:
  1. Quando -0.5 + 0.5K > 0 0.5K > 0.5 K > 1 (ou seja, -1 < K < 1 ):
  1. Quando (ou seja, ):
Mas esse segundo caso e não pode ocorrer simultaneamente. Portanto, a única faixa válida que garante a estabilidade é:

Resposta

Para que o sistema de controle em malha fechada seja estável, o ganho -1 < K < 1 deve estar entre -1 e 1. Ou seja,
Dessa forma, qualquer valor de dentro dessa faixa garante a estabilidade do sistema, e variações dentro desse intervalo resultam em comportamentos distintos do sistema.

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