Considerando a função de transferência de uma planta e da malha de retroação dadas abaixo, elabore um controlador que confira ao sistema de malha fechada erro de estado permanente igual a zero e pólos dominantes iguais a 1,66+j1,34 e 1,66-j1,34. Utilize propriedades de formação do lugar das raízes para obter a solução. OBS.: não se admite cancelamento de pólos.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função de transferência da planta
e uma função de retroação
. O objetivo é elaborar um controlador que faça com que o sistema de malha fechada tenha erro de estado permanente igual a zero e pólos dominantes em
. Para isso, vamos usar as propriedades de formação do lugar das raízes. Vamos precisar entender sobre funções de transferência, malha fechada, erro de estado permanente e lugar das raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é erro de estado permanente igual a zero. Isso significa que, no estado estacionário, o sistema deve alcançar a referência sem erro. Para isso, geralmente utilizamos controladores que garantem essa condição, como o controlador proporcional-integral (PI).
Passo 3
Agora, vamos identificar a função de transferência em malha fechada. A função de transferência em malha fechada
é dada por:
onde
é o controlador que queremos determinar.
Passo 4
Queremos que o sistema tenha pólos dominantes em
. Vamos converter esses pólos para a forma padrão
, onde
e
. Aqui,
e
.
Passo 5
A equação característica do sistema em malha fechada é dada por:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 6
Queremos que os pólos da equação característica sejam
. Portanto, a equação característica desejada é:
Calculando os termos:
Passo 7
Agora, igualamos a equação característica desejada à equação característica do sistema:
Resolvendo para
:
Simplificando:
Passo 8
Para garantir que o erro de estado permanente seja zero, precisamos de um controlador que introduza um integrador no sistema. Isso pode ser feito adicionando um termo
ao controlador. Assim, nosso controlador fica:
Isso é equivalente a um controlador PI.
Passo 9
Vamos igualar a expressão anterior para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando o polinômio:
Realizando a divisão polinomial de
por
, obtemos:
Portanto:
Passo 10
Comparando os coeficientes, temos:
Para o termo em
:
Isso indica que houve um equívoco na abordagem anterior. Em vez disso, vamos utilizar a técnica do lugar das raízes para determinar o controlador adequado.
Passo 11
Vamos reconsiderar o controlador como
para introduzir um integrador e garantir erro zero. A função de transferência em malha fechada fica:
Simplificando:
Passo 12
Vamos igualar a equação característica:
Queremos que os pólos sejam
, cuja equação característica é:
Igualando os coeficientes:
Para
:
Para o termo constante:
Percebemos uma inconsistência, o que indica que a escolha do controlador precisa ser revisada.
Passo 13
Vamos optar por um controlador PI completo:
. A função de transferência em malha fechada torna-se:
Multiplicando todos os termos por
:
Expandindo:
Agrupando os termos:
Passo 14
Comparando com a equação característica desejada
, temos:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Novamente, há uma inconsistência, indicando que precisamos reconsiderar a abordagem.
Passo 15
Para resolver de forma correta, vamos utilizar o método do lugar das raízes para determinar o ganho
que posiciona os pólos desejados. A equação característica é:
Igualando com a equação do sistema com o controlador:
Comparando os coeficientes:
Para
:
Para o termo constante:
Como os valores de
são diferentes, isso indica que não há um único ganho que satisfaça ambas as condições simultaneamente sem cancelar pólos, o que viola a restrição do problema.
Resposta
Após a análise, concluímos que não é possível elaborar um controlador que atenda às condições especificadas (erro de estado permanente zero e pólos dominantes em
) sem cancelar pólos, o que não é permitido conforme o enunciado.