Considerando a função de transferência de uma planta e da malha de retroação dadas abaixo, elabore um controlador que confira ao sistema de malha fechada erro de estado permanente igual a zero e pólos dominantes iguais a 1,66+j1,34 e 1,66-j1,34. Utilize propriedades de formação do lugar das raízes para obter a solução. OBS.: não se admite cancelamento de pólos.
GP(s)=1s+2 H(s)=s+2,5

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função de transferência da planta e uma função de retroação . O objetivo é elaborar um controlador que faça com que o sistema de malha fechada tenha erro de estado permanente igual a zero e pólos dominantes em . Para isso, vamos usar as propriedades de formação do lugar das raízes. Vamos precisar entender sobre funções de transferência, malha fechada, erro de estado permanente e lugar das raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é erro de estado permanente igual a zero. Isso significa que, no estado estacionário, o sistema deve alcançar a referência sem erro. Para isso, geralmente utilizamos controladores que garantem essa condição, como o controlador proporcional-integral (PI).

Passo 3

Agora, vamos identificar a função de transferência em malha fechada. A função de transferência em malha fechada T(s) = GP(s) cdot C(s)1 + GP(s) cdot C(s) cdot H(s) é dada por:
onde é o controlador que queremos determinar.

Passo 4

Queremos que o sistema tenha pólos dominantes em . Vamos converter esses pólos para a forma padrão , onde e . Aqui, e .

Passo 5

A equação característica do sistema em malha fechada é dada por:
1 + GP(s) cdot C(s) cdot H(s) = 0
Substituindo 1 + 1s+2 cdot C(s) cdot (s + 2,5) = 0 e (s + 2) + C(s) cdot (s + 2,5) = 0 :
Simplificando:

Passo 6

Queremos que os pólos da equação característica sejam (s - (1,66 + j1,34))(s - (1,66 - j1,34)) = s^2 - 2 cdot 1,66 s + (1,66)^2 + (1,34)^2 . Portanto, a equação característica desejada é:
s^2 - 3,32s + (2,7556 + 1,7956) = s^2 - 3,32s + 4,5512
Calculando os termos:

Passo 7

Agora, igualamos a equação característica desejada à equação característica do sistema:
s^2 - 3,32s + 4,5512 = (s + 2) + C(s) cdot (s + 2,5)
Resolvendo para C(s) cdot (s + 2,5) = s^2 - 3,32s + 4,5512 - (s + 2) :
C(s) cdot (s + 2,5) = s^2 - 4,32s + 2,5512
Simplificando:
C(s) = s^2 - 4,32s + 2,5512s + 2,5

Passo 8

Para garantir que o erro de estado permanente seja zero, precisamos de um controlador que introduza um integrador no sistema. Isso pode ser feito adicionando um termo C(s) = Kp + Kis ao controlador. Assim, nosso controlador fica:
Isso é equivalente a um controlador PI.

Passo 9

Vamos igualar a expressão anterior para Kp + Kis = s^2 - 4,32s + 2,5512s + 2,5 :
Kp s + Ki = s^3 - 4,32s^2 + 2,5512ss + 2,5
Multiplicando ambos os lados por s^3 - 4,32s^2 + 2,5512s = (s + 2,5)(s^2 - 6,82s + 17,003) :
Kp s + Ki = s^2 - 6,82s + 17,003
Simplificando o polinômio:
Realizando a divisão polinomial de por , obtemos:
Portanto:

Passo 10

Comparando os coeficientes, temos:
Para o termo em 0 = 1 (não há termo em ( s^2 ) no controlador PI) :
ãá
Isso indica que houve um equívoco na abordagem anterior. Em vez disso, vamos utilizar a técnica do lugar das raízes para determinar o controlador adequado.

Passo 11

Vamos reconsiderar o controlador como T(s) = GP(s) cdot C(s)1 + GP(s) cdot C(s) cdot H(s) = Ks(s+2)1 + K(s+2,5)s(s+2) para introduzir um integrador e garantir erro zero. A função de transferência em malha fechada fica:
T(s) = Ks^2 + 2s + K(s + 2,5)
Simplificando:

Passo 12

Vamos igualar a equação característica:
s^2 + 2s + K(s + 2,5) = 0
Queremos que os pólos sejam s^2 - 3,32s + 4,5512 = 0 , cuja equação característica é:
2 + K = -3,32 Rightarrow K = -3,32 - 2 = -5,32
Igualando os coeficientes:
Para K cdot 2,5 = 4,5512 Rightarrow K = 4,55122,5 = 1,8205 :
Para o termo constante:
Percebemos uma inconsistência, o que indica que a escolha do controlador precisa ser revisada.

Passo 13

Vamos optar por um controlador PI completo: 1 + Kp + Kiss+2 cdot (s + 2,5) = 0 . A função de transferência em malha fechada torna-se:
s(s + 2) + (Kp s + Ki)(s + 2,5) = 0
Multiplicando todos os termos por s^2 + 2s + Kp s^2 + (2,5 Kp + Ki)s + 2,5 Ki = 0 :
(1 + Kp)s^2 + (2 + 2,5 Kp + Ki)s + 2,5 Ki = 0
Expandindo:
Agrupando os termos:

Passo 14

Comparando com a equação característica desejada 1 + Kp = 1 Rightarrow Kp = 0 , temos:
Para 2 + 2,5 Kp + Ki = -3,32 Rightarrow 2 + 0 + Ki = -3,32 Rightarrow Ki = -5,32 :
2,5 Ki = 4,5512 Rightarrow Ki = 4,55122,5 = 1,8205
Para :
Para o termo constante:
Novamente, há uma inconsistência, indicando que precisamos reconsiderar a abordagem.

Passo 15

Para resolver de forma correta, vamos utilizar o método do lugar das raízes para determinar o ganho s^2 - 3,32s + 4,5512 = 0 que posiciona os pólos desejados. A equação característica é:
s^2 + 2s + K(s + 2,5) = 0
Igualando com a equação do sistema com o controlador:
2 + K = -3,32 Rightarrow K = -5,32
Comparando os coeficientes:
Para K cdot 2,5 = 4,5512 Rightarrow K = 4,55122,5 = 1,8205 :
Para o termo constante:
Como os valores de são diferentes, isso indica que não há um único ganho que satisfaça ambas as condições simultaneamente sem cancelar pólos, o que viola a restrição do problema.

Resposta

Após a análise, concluímos que não é possível elaborar um controlador que atenda às condições especificadas (erro de estado permanente zero e pólos dominantes em ) sem cancelar pólos, o que não é permitido conforme o enunciado.

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