Observações úteis (sem resolver ainda): o denominador pode ser fatorado como s(s+1)(s^{2}+1). A função F(s) é uma função racional própria (grau do numerador menor que grau do denominador), então é apropriado fazer decomposição em frações parciais e inverter termo a termo.
Passo 2
Escolha do método e revisão rápida das transformadas básicas que vou usar.
Método escolhido: decomposição em frações parciais (método padrão e direto para funções racionais), porque aqui o denominador tem fatores lineares e um quadrático irreducível (s^{2}+1), e as transformadas inversas desses fatores são conhecidas.
Multiplico ambos os lados por s(s+1)(s^{2}+1) para eliminar denominadores:
2s-4 = A(s+1)(s^{2}+1) + B s (s^{2}+1) + (Cs+D)\,s(s+1).
Passo 4
Expandir e igualar coeficientes para determinar [A,B,C,D).
Primeiro calculo as expansões:
(s+1)(s^{2}+1)=s^{3}+s^{2}+s+1,
s(s^{2}+1)=s^{3}+s,
s(s+1)=s^{2}+s,
(Cs+D)(s^{2}+s)=C s^{3} + (C+D) s^{2} + D s.
Somando os termos com os fatores A,B,C,D obtemos
2s-4 = (A+B+C) s^{3} + (A+C+D) s^{2} + (A+B+D) s + A.
Comparando coeficientes com 2s-4 = 0\cdot s^{3}+0\cdot s^{2}+2\cdot s + (-4), surgem as equações:
\begin{cases} A + B + C = 0,\\[4pt] A + C + D = 0,\\[4pt] A + B + D = 2,\\[4pt] A = -4. \end{cases}
Usando A=-4\]:
\[\begin{cases} -4 + B + C = 0 \Rightarrow B + C = 4,\\[4pt] -4 + C + D = 0 \Rightarrow C + D = 4,\\[4pt] -4 + B + D = 2 \Rightarrow B + D = 6. \end{cases}\]
Resolvo o sistema: das duas primeiras \(B + C = 4 e B + D = 6 e C + D = 4.
Subtraindo B+C=4 de B+D=6 dá D-C=2. Com C+D=4, somando estas duas equações: