dada F(s)=\mathcal{L}(f(t)), obtenha f(t).
F(s)=\frac{2 s-4}{\left(s^{2}+s\right)\left(s^{2}+1\right)}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se encontrar a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).
  • Foi dado:
F(s)=\frac{2s-4}{\left(s^{2}+s\right)\left(s^{2}+1\right)}.
  • Observações úteis (sem resolver ainda): o denominador pode ser fatorado como s(s+1)(s^{2}+1). A função F(s) é uma função racional própria (grau do numerador menor que grau do denominador), então é apropriado fazer decomposição em frações parciais e inverter termo a termo.

Passo 2

Escolha do método e revisão rápida das transformadas básicas que vou usar.
  • Método escolhido: decomposição em frações parciais (método padrão e direto para funções racionais), porque aqui o denominador tem fatores lineares e um quadrático irreducível ( s^{2}+1), e as transformadas inversas desses fatores são conhecidas.
  • Lembrando as transformadas inversas (úteis):
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1.
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+a}\right\}=e^{-at}.
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}+\omega^{2}}\right\}=\cos(\omega t).
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\right\}=\sin(\omega t).
  • A ideia: escrever F(s) como soma de termos do tipo A/s, B/(s+1) e (Cs+D)/(s^{2}+1), então aplicar as transformadas inversas acima.

Passo 3

Montar a decomposição em frações parciais.
Como o denominador é s(s+1)(s^{2}+1), suponho
\frac{2s-4}{s(s+1)(s^{2}+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{Cs+D}{s^{2}+1}.
Multiplico ambos os lados por s(s+1)(s^{2}+1) para eliminar denominadores:
2s-4 = A(s+1)(s^{2}+1) + B s (s^{2}+1) + (Cs+D)\,s(s+1).

Passo 4

Expandir e igualar coeficientes para determinar [A,B,C,D).
Primeiro calculo as expansões:
(s+1)(s^{2}+1)=s^{3}+s^{2}+s+1,
s(s^{2}+1)=s^{3}+s,
s(s+1)=s^{2}+s,
(Cs+D)(s^{2}+s)=C s^{3} + (C+D) s^{2} + D s.
Somando os termos com os fatores A,B,C,D obtemos
2s-4 = (A+B+C) s^{3} + (A+C+D) s^{2} + (A+B+D) s + A.
Comparando coeficientes com 2s-4 = 0\cdot s^{3}+0\cdot s^{2}+2\cdot s + (-4), surgem as equações:
\begin{cases} A + B + C = 0,\\[4pt] A + C + D = 0,\\[4pt] A + B + D = 2,\\[4pt] A = -4. \end{cases}
Usando A=-4\]: \[\begin{cases} -4 + B + C = 0 \Rightarrow B + C = 4,\\[4pt] -4 + C + D = 0 \Rightarrow C + D = 4,\\[4pt] -4 + B + D = 2 \Rightarrow B + D = 6. \end{cases}\] Resolvo o sistema: das duas primeiras \(B + C = 4 e B + D = 6 e C + D = 4.
Subtraindo B+C=4 de B+D=6 D-C=2. Com C+D=4, somando estas duas equações:
(D-C)+(C+D)=2+4 \Rightarrow 2D = 6 \Rightarrow D=3.
Então C = 4 - D = 1. E B = 4 - C = 3.
Assim:
A=-4,\qquad B=3,\qquad C=1,\qquad D=3.]

Passo 5

Escrever a decomposição encontrada.
Substituindo os coeficientes:
F(s)=\frac{2s-4}{s(s+1)(s^{2}+1)} = -\frac{4}{s} + \frac{3}{s+1} + \frac{s+3}{s^{2}+1}.

Passo 6

Aplicar a transformada inversa termo a termo e interpretar cada termo.
  • Para -\dfrac{4}{s}: pelo parônimo \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1, vem \mathcal{L}^{-1}\{-4/s\}=-4.
  • Para \dfrac{3}{s+1}: \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)\}=e^{-t}, logo \mathcal{L}^{-1}\{3/(s+1)\}=3e^{-t}.
  • Para \dfrac{s+3}{s^{2}+1}: separo em \dfrac{s}{s^{2}+1}+\dfrac{3}{s^{2}+1}.
    • \mathcal{L}^{-1}\{s/(s^{2}+1)\}=\cos t.
    • \mathcal{L}^{-1}\{3/(s^{2}+1)\}=3\sin t.
      Portanto a soma dá:
f(t) = -4 + 3e^{-t} + \cos t + 3\sin t,\qquad t\ge 0.

Resposta

f(t)=-4+3e^{-t}+\cos t+3\sin t

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