dada F(s)=\mathcal{L}(f(t)), obtenha f(t).
F(s)=\frac{5}{s^{2}+49}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado: \displaystyle F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{5}{s^{2}+49}.
  • Pedido: encontrar a função f(t) cujo transformada de Laplace é F(s).

Passo 2

Lembrete das transformadas básicas que vamos usar (essas são padrões que vale decorar):
  • Para \,a>0,
\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(at)\,dt=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}\quad(\Re(s)>0).
  • Para \,a>0,
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\quad(\Re(s)>0).
Explicando de forma simples: a transformada de \sin(at) tem sempre o numerador igual a a e o denominador s^{2}+a^{2}. Assim, quando vemos uma fração da forma \dfrac{\text{constante}}{s^{2}+a^{2}}, normalmente cabe identificar um múltiplo de \sin(at).

Passo 3

Identificar a no denominador:
s^{2}+49=s^{2}+7^{2},
logo a=7. A transformada padrão é
\mathcal{L}\{\sin(7t)\}=\frac{7}{s^{2}+49}.

Passo 4

Ajustar o fator numérico: queremos \dfrac{5}{s^{2}+49}, mas \mathcal{L}\{\sin(7t)\}=\dfrac{7}{s^{2}+49}. Para transformar um numerador 7 em 5 basta multiplicar por \dfrac{5}{7}. Ou seja, se escolhermos
f(t)=\frac{5}{7}\sin(7t),
então, usando linearidade da transformada,
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{5}{7}\,\mathcal{L}\{\sin(7t)\}=\frac{5}{7}\cdot\frac{7}{s^{2}+49}=\frac{5}{s^{2}+49},
que é exatamente F(s).

Passo 5

Verificação final e observação prática para a prova:
  • Verificamos que a escolha f(t)=\dfrac{5}{7}\sin(7t) produz exatamente o F(s) dado.
  • Dica de prova: ao ver \dfrac{\text{const}}{s^{2}+a^{2}} pense imediatamente em \sin(at) e ajuste o fator constante por divisão por a.

Resposta

f(t)=\frac{5}{7}\sin(7t),\quad t\ge 0.

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