Dada a matriz A e seus autovalores, encontre uma base para o autoespaço associado a cada autovalor dado. A matriz A é diagonalizável? Em caso afirmativo, calcule A^{5}. A=\left[\begin{array}{rr}1 & -3 \\\\ -4 & 5\end{array}\right], \lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=7.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & -3 \\\\ -4 & 5\end{pmatrix}
e os autovalores \lambda_{1}=-1 e \lambda_{2}=7. As perguntas são:
Encontrar uma base para o autoespaço (espaço próprio) associado a cada autovalor dado.
Dizer se A é diagonalizável.
Se for diagonalizável, calcular A^{5}.
Informações relevantes dadas: a matriz A e os dois autovalores \lambda_{1}=-1 e \lambda_{2}=7. Nada mais foi pedido nem fornecido.
Passo 2
Entendendo o que significa “base do autoespaço” (rápida aula): para um autovalor \lambda, um vetor não-nulo v é autovetor se
Av=\lambda v.
Isto é equivalente a
(A-\lambda I)v=0,
ou seja, os autovetores correspondem ao núcleo da matriz (A-\lambda I). O autoespaço associado a \lambda é o conjunto de todos esses vetores (mais o vetor nulo) — é um subespaço. Uma base do autoespaço é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram esse subespaço. Na prática, para cada \lambda resolvemos o sistema linear homogêneo (A-\lambda I)v=0 e escolhemos vetores geradores.
Desejamos resolver (A-7I)v=0, com v=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}. O sistema é
\begin{cases} -6x-3y=0,\\\\ -4x-2y=0. \end{cases}
Observe que a segunda equação é \tfrac{2}{3}\] da primeira (ou a primeira é \(3/2 da segunda), então de novo há apenas uma equação independente.
Passo 6
Resolva por exemplo a equação reduzida -6x-3y=0. Dividindo por -3 obtemos
2x+y=0 \quad\Rightarrow\quad y=-2x.
Escolhemos x=1 para obter um autovetor simples. Então um autovetor associado a \lambda_{2}=7 é
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}.
O autoespaço associado a \lambda_{2}=7 é a reta gerada por v_{2}, logo uma base do autoespaço é \{\,\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}\,\}.
Passo 7
Comentário sobre diagonalizabilidade (mini-aula): uma matriz 2\times2 é diagonalizável sobre \mathbb{R} se houver duas autovetores linearmente independentes. Ter dois autovalores distintos garante, em geral, que existem dois autovetores linearmente independentes. Aqui os autovalores dados são distintos (-1 e 7), e os autovetores encontrados v_{1}=\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix} e v_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix} não são múltiplos um do outro (logo são linearmente independentes). Portanto A é diagonalizável.
Passo 8
Para calcular A^{5} usamos a diagonalização: se P é a matriz cujas colunas são autovetores e D a diagonal dos autovalores, então
A = P D P^{-1} \quad\Rightarrow\quad A^{5} = P D^{5} P^{-1}.
Base do autoespaço de \lambda_{1}=-1: \left\{\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix}\right\}
Base do autoespaço de \lambda_{2}=7: \left\{\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}\right\} A é diagonalizável: Sim.