Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(-1,-2,-1), B=(2,-3,-1) e C=(3,-1,1).
Escolha uma opção:
◯ a. -2 x-6 y+7 z-7=0
◯ b. 8 x+2 y-13 z-9=0
◯ c. 10 x-6 y-17 z-19=0
◯ d. 8 x+2 y-5 z-17=0
◯ e. 8 x+2 y-17 z-5=0

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço: A=(-1,-2,-1), B=(2,-3,-1) e C=(3,-1,1).
A pergunta é: determinar a equação geral do plano que passa por A, B e C, escolhendo a alternativa correta entre as opções fornecidas.
Informações relevantes dadas:
A=(-1,-2,-1),\qquad B=(2,-3,-1),\qquad C=(3,-1,1).

Passo 2

Estratégia básica (apresento o que é necessário aprender): para achar a equação de um plano no espaço precisamos de um vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) ao plano. Se temos três pontos A, B, C distintos, podemos formar dois vetores do plano \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} e calcular o produto vetorial (cross product) \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} — esse produto é um vetor perpendicular ao plano, ou seja, um vetor normal.
Vou primeiro calcular \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Cálculo de \overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-(-1),\,-3-(-2),\,-1-(-1))=(3,\,-1,\,0).
Cálculo de \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AC}=C-A=(3-(-1),\,-1-(-2),\,1-(-1))=(4,\,1,\,2).

Passo 3

Mini-aula sobre produto vetorial (cross product): dado \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} é o vetor perpendicular a ambos e suas componentes podem ser obtidas pela expansão do determinante
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[2pt] u_1 & u_2 & u_3\\[2pt] v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix},
o que dá as componentes
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1).
Aqui usamos \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} como vetores unitários nas direções x,y,z.
Agora aplico com \mathbf{u}=\overrightarrow{AB}=(3,-1,0) e \mathbf{v}=\overrightarrow{AC}=(4,1,2).
Calculo componente a componente:
\begin{aligned} \text{1ª componente} &= u_2 v_3 - u_3 v_2 = (-1)\cdot 2 - 0\cdot 1 = -2,\\[4pt] \text{2ª componente} &= u_3 v_1 - u_1 v_3 = 0\cdot 4 - 3\cdot 2 = -6,\\[4pt] \text{3ª componente} &= u_1 v_2 - u_2 v_1 = 3\cdot 1 - (-1)\cdot 4 = 3 + 4 = 7. \end{aligned}ªªª
Portanto o vetor normal obtido é
\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-2,\,-6,\,7).]

Passo 4

Mini-aula sobre equação do plano: se \mathbf{n}=(a,b,c) é um vetor normal e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto qualquer do plano, a equação do plano pode ser escrita como produto escalar
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0,
onde \mathbf{r}=(x,y,z) é o vetor posição genérico e \mathbf{r_0}=(x_0,y_0,z_0). Isso expande para
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui temos \mathbf{n}=(-2,-6,7) e podemos escolher o ponto A=(-1,-2,-1) como P_0. Substituindo na forma acima obtemos a equação do plano (ainda numa forma pouco simplificada):
(-2)\bigl(x-(-1)\bigr)+(-6)\bigl(y-(-2)\bigr)+7\bigl(z-(-1)\bigr)=0.

Passo 5

Agora simplifico passo a passo a expressão do passo anterior. Primeiro reescrevendo os parênteses:
-2(x+1)-6(y+2)+7(z+1)=0.
Agora distribuo os coeficientes:
-2x-2-6y-12+7z+7=0.
Agrupando termos constantes:
-2x-6y+7z+(-2-12+7)=0.
Calculo o somatório das constantes:
-2-12+7=-7.
Portanto a forma final (forma geral) do plano é
-2x-6y+7z-7=0.

Passo 6

Verificação (boa prática para a prova): substituo os pontos A, B e C na equação para confirmar que todos satisfazem.
Para A=(-1,-2,-1):
-2(-1)-6(-2)+7(-1)-7=2+12-7-7=0.
Para B=(2,-3,-1):
-2(2)-6(-3)+7(-1)-7=-4+18-7-7=0.
Para C=(3,-1,1):
-2(3)-6(-1)+7(1)-7=-6+6+7-7=0.
Todos dão 0, então a equação está correta. Agora é só comparar com as alternativas: a alternativa que corresponde a essa equação é a letra (a).

Resposta

(a) -2x-6y+7z-7=0

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