Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(-1,-2,-1), B=(2,-3,-1) e C=(3,-1,1).
Escolha uma opção:
◯ a. -2 x-6 y+7 z-7=0
◯ b. 8 x+2 y-13 z-9=0
◯ c. 10 x-6 y-17 z-19=0
◯ d. 8 x+2 y-5 z-17=0
◯ e. 8 x+2 y-17 z-5=0
Passo 1
O enunciado dá três pontos no espaço: A=(-1,-2,-1), B=(2,-3,-1) e C=(3,-1,1).
A pergunta é: determinar a equação geral do plano que passa por A, B e C, escolhendo a alternativa correta entre as opções fornecidas.
Estratégia básica (apresento o que é necessário aprender): para achar a equação de um plano no espaço precisamos de um vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) ao plano. Se temos três pontos A, B, C distintos, podemos formar dois vetores do plano \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} e calcular o produto vetorial (cross product) \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} — esse produto é um vetor perpendicular ao plano, ou seja, um vetor normal.
Vou primeiro calcular \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Mini-aula sobre produto vetorial (cross product): dado \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} é o vetor perpendicular a ambos e suas componentes podem ser obtidas pela expansão do determinante
Mini-aula sobre equação do plano: se \mathbf{n}=(a,b,c) é um vetor normal e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto qualquer do plano, a equação do plano pode ser escrita como produto escalar
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0,
onde \mathbf{r}=(x,y,z) é o vetor posição genérico e \mathbf{r_0}=(x_0,y_0,z_0). Isso expande para
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui temos \mathbf{n}=(-2,-6,7) e podemos escolher o ponto A=(-1,-2,-1) como P_0. Substituindo na forma acima obtemos a equação do plano (ainda numa forma pouco simplificada):