Dada a matriz A=\left(\begin{array}{cccc}25 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -7 & 24 & 24 \\\\ 0 & 24 & 7 & -18 \\\\ 0 & 0 & 0 & -25\end{array}\right). Encontre os autovalores e autovetores de
A.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 25 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -7 & 24 & 24 \\\\ 0 & 24 & 7 & -18 \\\\ 0 & 0 & 0 & -25 \end{pmatrix}.
Aqui o conteúdo é autovalor e autovetor de matriz quadrada. Vamos primeiro achar o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 e, em seguida, resolver (A-\lambda I)x=0 para cada valor de \lambda.

Passo 2

Para calcular \det(A-\lambda I) expandimos por cofatores usando a primeira linha e a última coluna:
\det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 25-\lambda & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -7-\lambda & 24 & 24 \\\\ 0 & 24 & 7-\lambda & -18 \\\\ 0 & 0 & 0 & -25-\lambda \end{vmatrix} =(25-\lambda) \begin{vmatrix} -7-\lambda & 24 & 24 \\\\ 24 & 7-\lambda & -18 \\\\ 0 & 0 & -25-\lambda \end{vmatrix}.
Nesse menor 3\times3, a última linha é (0,0,-25-\lambda), então
\det \begin{pmatrix} -7-\lambda & 24 & 24 \\\\ 24 & 7-\lambda & -18 \\\\ 0 & 0 & -25-\lambda \end{pmatrix} =(-25-\lambda) \det \begin{pmatrix} -7-\lambda & 24 \\\\ 24 & 7-\lambda \end{pmatrix}.

Passo 3

O menor 2\times2 é
\det \begin{pmatrix} -7-\lambda & 24 \\\\ 24 & 7-\lambda \end{pmatrix} =(-7-\lambda)(7-\lambda)-24^2 =\bigl(\lambda^2-49\bigr)-576 =\lambda^2-625.
Logo o polinômio característico fica
\det(A-\lambda I) =(25-\lambda)(-25-\lambda)(\lambda^2-625) =(25-\lambda)(-25-\lambda)(\lambda-25)(\lambda+25),
cuja raiz única é \lambda=25 com multiplicidade algébrica 2 e \lambda=-25 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Para \lambda=25 resolvemos
(A-25I)x=0, i.e.
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -32 & 24 & 24\\\\ 0 & 24 & -18 & -18\\\\ 0 & 0 & 0 & -50 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} =0.
Dessas equações vem
\,-50\,x_4=0\implies x_4=0,
-32x_2+24x_3=0\implies x_3=\tfrac{4}{3}x_2,
e x_1 fica livre.
Assim a base do espaço próprio de \lambda=25 pode ser escolhida por exemplo como
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ 4\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda=-25 resolvemos
(A+25I)x=0, i.e.
\begin{pmatrix} 50 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 18 & 24 & 24\\\\ 0 & 24 & 32 & -18\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} =0.
Dessas equações vem
50\,x_1=0\implies x_1=0
e do sistema
18x_2+24x_3+24x_4=0, \quad 24x_2+32x_3-18x_4=0
segue x_4=0 e 3x_2+4x_3=0\implies x_3=-\tfrac{3}{4}x_2.
Logo o espaço próprio de \lambda=-25 é unidimensional, com vetor gerador, por exemplo,
v_3 = \begin{pmatrix}0\\\ 4\\\ -3\\\ 0\end{pmatrix}.

Resposta

Os autovalores de A são
\lambda_1=25 (multiplicidade algébrica 2, geométrica 2) e
\lambda_2=-25 (multiplicidade algébrica 2, geométrica 1).
Um conjunto de autovetores associados é:
\lambda=25:
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ 4\\\ 0\end{pmatrix};
\lambda=-25:
v_3 = \begin{pmatrix}0\\\ 4\\\ -3\\\ 0\end{pmatrix}.

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