Dada a matriz \left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3 \\\\ -3 & 4 & 1 \\\\ 4 & -4 & 5\end{array}\right] calcule
a) \operatorname{adj} A;
b) \operatorname{det} A;
c) Mostre que A \cdot(\operatorname{adj} A)=(\operatorname{adj} A) \cdot A=\operatorname{det}(A) \cdot I_{3 x 3};
d) Com o resultado da letra c), determine a matriz inversa de A, ou seja, A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\\\ -3 & 4 & 1\\\\ 4 & -4 & 5 \end{pmatrix}
e pede:
a) a adjunta de A, isto é \operatorname{adj}A;
b) o determinante \det A;
c) mostrar que
A\,\bigl(\operatorname{adj}A\bigr) =\bigl(\operatorname{adj}A\bigr)\,A =\det(A)\,I_{3\times3};
d) usar esse resultado para obter A^{-1}.
Para isso vamos calcular primeiro \det A, em seguida os cofatores, montar \operatorname{adj}A, verificar a propriedade de multiplicação e, por fim, deduzir a inversa.

Passo 2

Calcular \det A expandindo pela primeira linha:
\det A =2\det\begin{pmatrix}4&1\\\ -4&5\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}-3&1\\\ 4&5\end{pmatrix} +3\det\begin{pmatrix}-3&4\\\ 4&-4\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}4&1\\\ -4&5\end{pmatrix}=4\cdot5-1\cdot(-4)=24,
\det\begin{pmatrix}-3&1\\\ 4&5\end{pmatrix}=-3\cdot5-1\cdot4=-19,
\det\begin{pmatrix}-3&4\\\ 4&-4\end{pmatrix} =(-3)(-4)-4\cdot4=12-16=-4.
Logo
\det A=2\cdot24-1\cdot(-19)+3\cdot(-4) =48+19-12=55.

Passo 3

Construir a matriz de cofatores C=(C_{ij}) com
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o menor de ordem 2 relativo à posição (i,j). Calculando todos:
C=\begin{pmatrix} \;24 & 19 & -4\\\\ -17 & -2 & 12\\\\ -11 & -11 & 11 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta de C:
\operatorname{adj}A =C^{T} =\begin{pmatrix} 24 & -17 & -11\\\\ 19 & -2 & -11\\\\ -4 & 12 & 11 \end{pmatrix}.

Passo 4

Verificar que A\,(\operatorname{adj}A)=55\,I. Por exemplo, o elemento (1,1) de A\,\operatorname{adj}A é
2\cdot24+1\cdot19+3\cdot(-4)=48+19-12=55,
e o (1,2) é
2\cdot(-17)+1\cdot(-2)+3\cdot12=-34-2+36=0,
assim por diante, mostrando que
A\,(\operatorname{adj}A)=55\,I_{3} \quad\text{e analogamente}\quad (\operatorname{adj}A)\,A=55\,I_{3}.

Passo 5

Como A\,(\operatorname{adj}A)=\det(A)\,I, segue
A^{-1}=\frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}A =\frac{1}{55} \begin{pmatrix} 24 & -17 & -11\\\\ 19 & -2 & -11\\\\ -4 & 12 & 11 \end{pmatrix}.

Resposta

a) \displaystyle \operatorname{adj}A =\begin{pmatrix} 24 & -17 & -11\\\\ 19 & -2 & -11\\\\ -4 & 12 & 11 \end{pmatrix}.
b) \displaystyle \det A=55.
c) \displaystyle A\,(\operatorname{adj}A) =(\operatorname{adj}A)\,A =\det(A)\,I_{3}=55\,I_{3}.
d) \displaystyle A^{-1} =\frac{1}{55} \begin{pmatrix} 24 & -17 & -11\\\\ 19 & -2 & -11\\\\ -4 & 12 & 11 \end{pmatrix}.

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