Encontre lambda \in \mathbb{R} tal que \operatorname{det} A=0.
b) A=\left[\begin{array}{ccc}\lambda+2 & -1 & 3 \\\\ 2 & \lambda-1 & 2 \\\\ 0 & 0 & \lambda+4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \lambda\in\mathbb{R} tal que \det A=0, onde
A = \begin{pmatrix} \lambda + 2 & -1 & 3 \\[6pt] 2 & \lambda - 1 & 2 \\[6pt] 0 & 0 & \lambda + 4 \end{pmatrix}.
Como na terceira linha só aparece \,0,0,\lambda+4, vamos usar expansão por menores ao longo dessa linha.]

Passo 2

Ao expandir pela terceira linha, o único cofactor não nulo é o de entrada (3,3). Como (-1)^{3+3}=1, temos:
\det A = (\lambda+4)\,\det\begin{pmatrix}\lambda+2 & -1 \\[4pt] 2 & \lambda-1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos agora o determinante do menor 2\times2:
\det\begin{pmatrix}\lambda+2 & -1 \\[4pt] 2 & \lambda-1\end{pmatrix} = (\lambda+2)(\lambda-1) - (-1)\cdot 2 = (\lambda+2)(\lambda-1) + 2.]

Passo 4

Desenvolvendo e simplificando,
(\lambda+2)(\lambda-1) + 2 = \lambda^2 - \lambda + 2\lambda - 2 + 2 = \lambda^2 + \lambda.
Logo
\det A = (\lambda+4)\,(\lambda^2 + \lambda) = (\lambda+4)\,\lambda\,(\lambda+1).

Passo 5

Para \det A=0 basta anular um dos fatores:
\lambda=0,\quad \lambda+1=0\\ (\lambda=-1),\quad \lambda+4=0\\ (\lambda=-4).

Resposta

\lambda = 0,\;-1,\;-4

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