Dada a matriz:

X=\left[\begin{array}{cc} -1 & 2 \\\\ 3 & 8 \\\\ 0 & -5 \end{array}\right]
Quanto vale a sua transposta?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
X=\left[\begin{array}{cc} -1 & 2 \\\\ 3 & 8 \\\\ 0 & -5 \end{array}\right]
e pergunta qual é a sua transposta. Ou seja, quer-se a matriz X^{T}.

Passo 2

Definição e notação: a transposta de uma matriz X é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Em notação de entradas, se X=(X_{ij}) então a transposta X^{T} tem entradas
(X^{T})_{ij}=X_{ji},
onde i indica a linha e j a coluna. Isso significa que o elemento que estava na linha i e coluna j de X passa a ficar na linha j e coluna i de X^{T}.

Passo 3

Dimensões: a matriz X tem 3 linhas e 2 colunas, ou seja é de dimensão 3\times2. Ao transpor, as dimensões se invertem, portanto X^{T} terá dimensão 2\times3 (2 linhas e 3 colunas). Sempre verifique isso na prova para não errar formato.

Passo 4

Vamos mapear as entradas de X para X^{T} usando (X^{T})_{ij}=X_{ji}.
Liste as entradas de X por posição:
X_{11}=-1,\quad X_{12}=2,
X_{21}=3,\quad X_{22}=8,
X_{31}=0,\quad X_{32}=-5.
Agora aplicando a regra:
(X^{T})_{11}=X_{11}=-1,\qquad (X^{T})_{12}=X_{21}=3,\qquad (X^{T})_{13}=X_{31}=0,
(X^{T})_{21}=X_{12}=2,\qquad (X^{T})_{22}=X_{22}=8,\qquad (X^{T})_{23}=X_{32}=-5.

Passo 5

Escrevendo X^{T} com essas entradas (lembrando que é 2\times3):
X^{T}=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 3 & 0 \\\\ 2 & 8 & -5 \end{array}\right].

Resposta

X^{T}=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 3 & 0 \\\\ 2 & 8 & -5 \end{array}\right]

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