Para uma dada reação química, o valor de \Delta H^{0} pode ser considerado como constante em uma ampla faixa de temperaturas. Quando a temperatura do sistema passa de \mathrm{T}=300 \mathrm{~K} para \mathrm{T}=350 \mathrm{~K}, sua constante de equilíbrio vai de \lambda para 4 \lambda. Qual será a temperatura na qual a constante de equilíbrio desta reação valerá \frac{\lambda}{2} ?

Passo 1

O enunciado informa que \Delta H^{0} pode ser considerado constante e dá como dados: a constante de equilíbrio vale \lambda quando a temperatura é T=300\\ \mathrm{K} e vale 4\lambda quando a temperatura é T=350\\ \mathrm{K}. A pergunta é: determinar a temperatura na qual a constante de equilíbrio vale \dfrac{\lambda}{2}.
Lista dos dados extraídos do enunciado:
T_1 = 300\\ \mathrm{K},\quad K_1 = \lambda
T_2 = 350\\ \mathrm{K},\quad K_2 = 4\lambda
\text{Procuramos }T_3\text{ tal que }K_3=\frac{\lambda}{2}.

Passo 2

Vamos usar a forma integrada da equação de Van ’t Hoff (é a ferramenta padrão para ver como K varia com T quando \Delta H^{0} é constante). A fórmula é:
\ln\frac{K_2}{K_1} = -\frac{\Delta H^{0}}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Explicando cada termo de modo bem prático:
  • K_1 e K_2 são as constantes de equilíbrio em temperaturas T_1 e T_2, respectivamente.
  • \Delta H^{0} é a entalpia padrão da reação (assumimos constante na faixa de T).
  • R é a constante universal dos gases.
  • O sinal menos aparece porque, ao integrar a forma diferencial \dfrac{d\ln K}{dT}=\dfrac{\Delta H^{0}}{RT^{2}}, obtemos essa relação entre inversos de temperatura.
    Não precisamos do valor numérico de R isoladamente porque trabalharemos com a razão \dfrac{\Delta H^{0}}{R}.

Passo 3

Aplicando a equação de Van ’t Hoff aos dados T_1=300\\ \mathrm{K},\\ K_1=\lambda e T_2=350\\ \mathrm{K},\\ K_2=4\lambda:
\ln\frac{4\lambda}{\lambda} = -\frac{\Delta H^{0}}{R}\left(\frac{1}{350}-\frac{1}{300}\right).
Simplificando o lado esquerdo:
\ln 4 = -\frac{\Delta H^{0}}{R}\left(\frac{1}{350}-\frac{1}{300}\right).
Calculamos a diferença dos inversos (faço passo a passo para você poder repetir na prova):
\frac{1}{350}-\frac{1}{300} = \frac{300-350}{350\cdot 300} = \frac{-50}{105000} = -\frac{1}{2100}.
Substituindo:
\ln 4 = -\frac{\Delta H^{0}}{R}\left(-\frac{1}{2100}\right) = \frac{\Delta H^{0}}{R}\cdot\frac{1}{2100}.
Isolando \dfrac{\Delta H^{0}}{R}:
\frac{\Delta H^{0}}{R} = 2100\ln 4.
Observação intuitiva: \ln 4>0 então \dfrac{\Delta H^{0}}{R}>0, ou seja, reação endotérmica — faz sentido com K aumentando quando T aumenta.

Passo 4

Agora aplicamos a mesma equação para achar T_3 tal que K_3=\dfrac{\lambda}{2}, usando K_1=\lambda em T_1=300\\ \mathrm{K}:
\ln\frac{K_3}{K_1} = -\frac{\Delta H^{0}}{R}\left(\frac{1}{T_3}-\frac{1}{300}\right).
Substituindo K_3=\dfrac{\lambda}{2} e K_1=\lambda:
\ln\frac{\lambda/2}{\lambda} = \ln\frac{1}{2} = -\frac{\Delta H^{0}}{R}\left(\frac{1}{T_3}-\frac{1}{300}\right).
Usamos agora o valor encontrado para \dfrac{\Delta H^{0}}{R}, lembrando que \ln 4 = 2\ln 2:
\ln\frac{1}{2} = -2100\ln 4\left(\frac{1}{T_3}-\frac{1}{300}\right).
Mas \ln\frac{1}{2}=-\ln 2 e \ln 4=2\ln 2. Substituindo essas relações:
-\ln 2 = -2100\cdot(2\ln 2)\left(\frac{1}{T_3}-\frac{1}{300}\right).
Podemos cancelar o fator comum -\ln 2 em ambos os lados:
1 = 2100\cdot 2\left(\frac{1}{T_3}-\frac{1}{300}\right).
Ou seja:
1 = 4200\left(\frac{1}{T_3}-\frac{1}{300}\right).

Passo 5

Agora isolamos \dfrac{1}{T_3}:
\frac{1}{4200} = \frac{1}{T_3}-\frac{1}{300}.
Portanto
\frac{1}{T_3} = \frac{1}{4200} + \frac{1}{300}.
Colocando sobre o mesmo denominador 4200:
\frac{1}{T_3} = \frac{1 + 14}{4200} = \frac{15}{4200} = \frac{1}{280}.
Logo
T_3 = 280\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Cheque rápido de coerência: como a reação é endotérmica ( \Delta H^{0}>0), aumentar T aumenta K — vimos K cresce de \lambda (em 300\\ \mathrm{K}) para 4\lambda (em 350\\ \mathrm{K}). Para obter uma constante menor ( \lambda/2) precisamos diminuir T abaixo de 300\\ \mathrm{K}; encontramos 280\\ \mathrm{K}, o que é consistente. Vai dar certo na prova — respira, você já sabe o caminho!

Resposta

\,280\\ \mathrm{K}

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