Dada a regressão por demanda por telefones celulares, como segue, \widehat{Y}_{i}=14,4773+0,0022 X_{i} ; d p\left(\hat{\beta}_{1}\right)=6,1523 ; d p\left(\hat{\beta}_{2}\right)=0,00032 e r^{2}=0,6023
a) O coeficiente de intercepto estimado é significativo no nível de 5 \% de significância? Qual é a hipótese nula subjacente?
b) O coeficiente angular estimado é significativo no nível de 5 \% de significância? Qual é a hipótese nula subjacente?
c) Estabeleça uma confiança de 95 \% para o verdadeiro coeficiente angular.
d) Qual o valor médio estimado para a demanda de telefones celulares se a renda per capita for de \mathrm{R} \ 9.000 ? Qual o intervalo de confiança deç95 %$ para o valor previsto?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Equação estimada: \widehat{Y}_{i}=14,4773+0,0022\,X_{i}.
  • Erro-padrão do estimador do intercepto: dp(\hat{\beta}_{1})=6,1523.
  • Erro-padrão do estimador da inclinação: dp(\hat{\beta}_{2})=0,00032.
  • R^{2}=0,6023.
Perguntas:
a) O coeficiente de intercepto é significativo ao nível de 5\%? Qual é a hipótese nula subjacente?
b) O coeficiente angular é significativo ao nível de 5\%? Qual é a hipótese nula subjacente?
c) Construir intervalo de confiança de 95\% para o verdadeiro coeficiente angular \beta_{2}.
d) Qual o valor médio estimado para a demanda quando a renda per capita é \mathrm{R}\$\,9.000? Qual o intervalo de confiança de 95\% para o valor previsto?

Passo 2

Explicando a ferramenta que vamos usar (teste t para coeficientes) e a regra de decisão, passo a passo, sem pular etapas.
  • Hipótese nula (geral para testar se um coeficiente é zero): H_0:\beta_j=0.
A hipótese alternativa (bilateral) é H_1:\beta_j\neq0.
  • Estatística de teste (para cada coeficiente) é a razão entre o estimador e seu erro-padrão:
t=\frac{\hat{\beta}_j}{dp(\hat{\beta}_j)}.
Essa estatística, sob H_0 e assumindo erros normais, segue a distribuição t com n-2 graus de liberdade. Para decidir ao nível de significância \alpha=0,05 usamos o critério:
  • Rejeitar H_0 se |t|>t_{n-2,\,0{,}975} (o valor crítico da t-Student).
    Se o tamanho da amostra n não for fornecido, uma prática comum (quando não se pode usar o t exato) é aproximar por z normal e usar 1{,}96 como corte para 95\% (isso é razoável se n for moderadamente grande). Aqui o enunciado não informa n, então, para tomar uma decisão numérica, vou usar a aproximação crítica t_{\ast}\approx1{,}96. Indicarei quando essa aproximação foi usada.

Passo 3

Teste para o intercepto ( \beta_{1}) com cálculos explícitos.
  • Estatística:
t_{\text{intercepto}}=\frac{\hat{\beta}_{1}}{dp(\hat{\beta}_{1})} =\frac{14,4773}{6,1523}\approx2,353.
  • Regra prática (usando t_{\ast}\approx1{,}96): como |2,353|>1{,}96, rejeitamos H_0:\beta_{1}=0 ao nível de 5\%.
  • Interpretação didática: isso significa que, com os dados e erros-padrão informados, o intercepto é estatisticamente diferente de zero com significância de 5\%.
  • Aproximação de p-valor (usando a normal como aproximação): p\approx2\big(1-\Phi(2,353)\big)\approx0,0188. Como p<0,05, confirma a rejeição. Observação: se n for muito pequeno, o valor crítico exato difere de 1{,}96, mas o t obtido (2,353) tende a manter a rejeição para qualquer n razoável maior que, digamos, 10.

Passo 4

Teste para a inclinação ( \beta_{2}) com cálculos explícitos.
  • Estatística:
t_{\text{inclinação}}=\frac{\hat{\beta}_{2}}{dp(\hat{\beta}_{2})} =\frac{0,0022}{0,00032}=6,875.çã
  • Regra prática (usando t_{\ast}\approx1{,}96): como |6,875|\gg1{,}96, rejeitamos H_0:\beta_{2}=0 ao nível de 5\%.
  • Interpretação didática: a inclinação é altamente significativa — indica evidência forte de associação linear entre X (renda per capita) e Y (demanda de telefones).
  • O p-valor é extremamente pequeno (praticamente zero) pela aproximação normal, confirmando significância muito além de 5\%.

Passo 5

Construção do intervalo de confiança de 95\% para \beta_{2} (passo a passo e cálculo numérico).
  • Fórmula geral do intervalo de confiança para \beta_{2}:
\text{IC}_{95\%}(\beta_{2}) \;=\; \hat{\beta}_{2} \pm t_{n-2,\,0{,}975}\cdot dp(\hat{\beta}_{2}).
  • Como não foi fornecido n, uso a aproximação t_{n-2,\,0{,}975}\approx1{,}96. (Se n for pequeno, usar o valor de t correspondente a n-2 graus de liberdade.)
  • Cálculo da margem de erro:
\text{ME}=1{,}96\cdot 0,00032=0,0006272.
  • Limites do IC:
\hat{\beta}_{2}-\text{ME}=0,0022-0,0006272=0,0015728,
\hat{\beta}_{2}+\text{ME}=0,0022+0,0006272=0,0028272.
  • Portanto o intervalo de confiança 95\% (aproximado, usando t\approx1{,}96) é
\big[\,0,0015728,\;0,0028272\,\big].
  • Observação didática: se for possível obter n, substituir 1{,}96 pelo t_{n-2,\,0{,}975} correto para obter o IC exato.

Passo 6

Previsão do valor médio estimado para X=9.000 e discussão do intervalo de confiança para a previsão.
  • Cálculo do valor médio estimado (previsão pontual da resposta média em X_{0}=9.000):
\widehat{Y}_{0}=\hat{\beta}_{1}+\hat{\beta}_{2}X_{0} =14,4773+0,0022\cdot 9.000.
0,0022\cdot 9.000=19,8,
\widehat{Y}_{0}=14,4773+19,8=34,2773.
Logo, o valor médio estimado da demanda quando a renda per capita é \mathrm{R}\$\,9.000 é \widehat{Y}=34,2773.
  • Sobre o intervalo de confiança de 95\% para o valor previsto: para construir o IC da média prevista ou o intervalo de previsão individual precisamos de quantidades adicionais que NÃO foram fornecidas no enunciado:
    • o erro padrão residual da regressão s (ou s_e),
    • o tamanho da amostra n,
    • a média amostral de X, \bar{X},
    • e a soma dos quadrados centrada S_{xx}=\sum (X_i-\bar{X})^{2}.
  • Fórmulas (para referência didática):
    • IC de 95\% para a média condicional em X_0:
    \widehat{Y}_0 \pm t_{n-2,\,0{,}975}\, s \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(X_0-\bar{X})^{2}}{S_{xx}}}.
    • Intervalo de previsão (para um novo indivíduo) de 95\%:
    \widehat{Y}_0 \pm t_{n-2,\,0{,}975}\, s \sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{(X_0-\bar{X})^{2}}{S_{xx}}}.
  • Conclusão prática: com os dados dados é possível dar a previsão pontual \widehat{Y}=34,2773, mas não é possível calcular numericamente o intervalo de confiança de 95\% para essa previsão porque faltam s, n, \bar{X} e S_{xx}. Se esses valores forem fornecidos, basta substituir nas fórmulas acima.

Resposta

a) Sim. Hipótese nula: H_0:\beta_{1}=0 (teste bilateral); estatística t\approx2,353 e p\approx0,0188<0,05, logo rejeita-se H_0.\n
b) Sim. Hipótese nula: H_0:\beta_{2}=0 (teste bilateral); estatística t\approx6,875 (p praticamente 0), logo rejeita-se H_0.\n
c) Intervalo de confiança de 95\% para \beta_{2} (aproximado usando t\approx1{,}96): \big[\,0,0015728,\;0,0028272\,\big].\n
d) Valor médio estimado para X=9.000: \widehat{Y}=34,2773. Intervalo de confiança de 95\% para o valor previsto: não é possível calcular numericamente com os dados fornecidos (faltam s, n, \bar{X} e S_{xx}); as fórmulas necessárias foram dadas no corpo da resolução.

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