Dada a regressão por demanda por telefones celulares, como segue,
e
a) O coeficiente de intercepto estimado é significativo no nível de
de significância? Qual é a hipótese nula subjacente?
b) O coeficiente angular estimado é significativo no nível de
de significância? Qual é a hipótese nula subjacente?
c) Estabeleça uma confiança de
para o verdadeiro coeficiente angular.
d) Qual o valor médio estimado para a demanda de telefones celulares se a renda per capita for de
9.000
95 %$ para o valor previsto?
a) O coeficiente de intercepto estimado é significativo no nível de
b) O coeficiente angular estimado é significativo no nível de
c) Estabeleça uma confiança de
d) Qual o valor médio estimado para a demanda de telefones celulares se a renda per capita for de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
Dados fornecidos:
- Equação estimada:
. - Erro-padrão do estimador do intercepto:
. - Erro-padrão do estimador da inclinação:
. -
.
Perguntas:
a) O coeficiente de intercepto é significativo ao nível de ? Qual é a hipótese nula subjacente?
b) O coeficiente angular é significativo ao nível de ? Qual é a hipótese nula subjacente?
c) Construir intervalo de confiança de para o verdadeiro coeficiente angular
.
d) Qual o valor médio estimado para a demanda quando a renda per capita é ? Qual o intervalo de confiança de
para o valor previsto?
a) O coeficiente de intercepto é significativo ao nível de
b) O coeficiente angular é significativo ao nível de
c) Construir intervalo de confiança de
d) Qual o valor médio estimado para a demanda quando a renda per capita é
Passo 2
Explicando a ferramenta que vamos usar (teste t para coeficientes) e a regra de decisão, passo a passo, sem pular etapas.
- Hipótese nula (geral para testar se um coeficiente é zero):
A hipótese alternativa (bilateral) é
- Estatística de teste (para cada coeficiente) é a razão entre o estimador e seu erro-padrão:
Essa estatística, sob
e assumindo erros normais, segue a distribuição
com
graus de liberdade. Para decidir ao nível de significância
usamos o critério:
- Rejeitar
se (o valor crítico da -Student).
Se o tamanho da amostranão for fornecido, uma prática comum (quando não se pode usar o exato) é aproximar por normal e usar como corte para (isso é razoável se for moderadamente grande). Aqui o enunciado não informa , então, para tomar uma decisão numérica, vou usar a aproximação crítica . Indicarei quando essa aproximação foi usada.
Passo 3
Teste para o intercepto (
) com cálculos explícitos.
- Estatística:
- Regra prática (usando
): como , rejeitamos ao nível de . - Interpretação didática: isso significa que, com os dados e erros-padrão informados, o intercepto é estatisticamente diferente de zero com significância de
. - Aproximação de
-valor (usando a normal como aproximação): . Como , confirma a rejeição. Observação: se for muito pequeno, o valor crítico exato difere de , mas o obtido (2,353) tende a manter a rejeição para qualquer razoável maior que, digamos, 10.
Passo 4
Teste para a inclinação (
) com cálculos explícitos.
- Estatística:
- Regra prática (usando
): como , rejeitamos ao nível de . - Interpretação didática: a inclinação é altamente significativa — indica evidência forte de associação linear entre
(renda per capita) e (demanda de telefones). - O
-valor é extremamente pequeno (praticamente zero) pela aproximação normal, confirmando significância muito além de .
Passo 5
Construção do intervalo de confiança de
para
(passo a passo e cálculo numérico).
- Fórmula geral do intervalo de confiança para
:
- Como não foi fornecido
, uso a aproximação . (Se for pequeno, usar o valor de correspondente a graus de liberdade.) - Cálculo da margem de erro:
- Limites do IC:
- Portanto o intervalo de confiança
(aproximado, usando ) é
- Observação didática: se for possível obter
, substituir pelo correto para obter o IC exato.
Passo 6
Previsão do valor médio estimado para
e discussão do intervalo de confiança para a previsão.
- Cálculo do valor médio estimado (previsão pontual da resposta média em
):
Logo, o valor médio estimado da demanda quando a renda per capita é
é
.
- Sobre o intervalo de confiança de
para o valor previsto: para construir o IC da média prevista ou o intervalo de previsão individual precisamos de quantidades adicionais que NÃO foram fornecidas no enunciado: - o erro padrão residual da regressão
(ou ), - o tamanho da amostra
, - a média amostral de
, , - e a soma dos quadrados centrada
.
- o erro padrão residual da regressão
- Fórmulas (para referência didática):
- IC de
para a média condicional em :
- Intervalo de previsão (para um novo indivíduo) de
:
- IC de
- Conclusão prática: com os dados dados é possível dar a previsão pontual
, mas não é possível calcular numericamente o intervalo de confiança de para essa previsão porque faltam , , e . Se esses valores forem fornecidos, basta substituir nas fórmulas acima.
Resposta
a) Sim. Hipótese nula:
(teste bilateral); estatística
e
, logo rejeita-se
.\n
b) Sim. Hipótese nula: (teste bilateral); estatística
(p praticamente 0), logo rejeita-se
.\n
c) Intervalo de confiança de para
(aproximado usando
):
.\n
d) Valor médio estimado para :
. Intervalo de confiança de
para o valor previsto: não é possível calcular numericamente com os dados fornecidos (faltam
,
,
e
); as fórmulas necessárias foram dadas no corpo da resolução.
b) Sim. Hipótese nula:
c) Intervalo de confiança de
d) Valor médio estimado para