O que se conhece por linha característica na análise moderna de investimentos nada mais é do que a regressão obtida por meio do seguinte modelo:
Em que,
: taxa de retorno do
- éssimo ativo no período
: taxa de retorno do portfólio de mercado no período
: é o termo de erro estocástico.
Neste modelo,
é conhecido como o coeficiente beta do
-ésimo ativo, uma medida do risco de mercado (ou risco sistêmico) de um ativo.
Com base em 240 taxas de retorno mensais do período 1956-1976, Fogler e Ganapathy obtiveram a seguinte linha característica para as ações da IBM em relação ao índice de portfólio de mercado calculado pela Universidade de Chicago:
a) Diz-se que um ativo cujo coeficiente beta é maior que um é um papel volátil ou agressivo. As ações da IBM foram voláteis durante o período estudado?
b) O coeficiente do intercepto é significativamente diferente de zero? Se for, qual o significado prático disso?
Neste modelo,
b) O coeficiente do intercepto é significativamente diferente de zero? Se for, qual o significado prático disso?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Verificar se as ações da IBM foram “voláteis/ansiosas” no período, isto é, testar se o coeficiente beta é maior que 1.
- (b) Verificar se o coeficiente do intercepto é significativamente diferente de zero e explicar o significado prático.
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
- Equação estimada:
. - Erros padrão (entre parênteses): para o intercepto
e para . -
. - Graus de liberdade:
(indicados). - Estatística
mostrada: .
Passo 2
Primeira coisa que ensinar: como testar hipóteses sobre coeficientes de regressão (passo a passo que vale na prova).
- Fórmula do t-estatístico para testar
é
Aqui
é a estimativa (ex.:
ou
) e
é o erro padrão dado pela regressão (os números entre parênteses no enunciado).
- Decisão: comparar
com o valor crítico da distribuição com os apropriados. Para muitos casos práticos, com graus de liberdade, os valores críticos aproximados são: - para teste bilateral a 5%:
; - para teste unilateral (nível de 5%):
.
- para teste bilateral a 5%:
- Alternativamente pode-se usar p-valor: p-value pequeno (menor que o nível escolhido) → rejeita
.
Vamos aplicar isso a cada pergunta.
Passo 3
Testando se a ação é volátil: hipótese para
.
- Hipóteses (teste unilateral, pois queremos saber se
):
- Estatística:
Calculemos passo a passo:
- Comparação com o crítico (unilateral, 5%):
. Como , não rejeitamos ao nível de 5%. - P-valor aproximado: para
e gl, o p-valor unilateral é aproximadamente (portanto o bilateral seria ). Esse p-valor é bem maior que .
Conclusão técnica: embora
, a diferença em relação a
não é estatisticamente significativa com os dados (não há evidência suficiente para afirmar que
).
Passo 4
Interpretação didática (como responder na prova para (a)):
- O ponto estimado sugere um beta ligeiramente acima de
, o que, isoladamente, apontaria para maior sensibilidade da IBM ao mercado (mais “volátil”/agressiva). - Contudo, na estatística o que importa é se essa diferença é robusta frente à incerteza (erro padrão). Como o teste não mostrou significância, não se pode afirmar com confiança que IBM foi um papel volátil no sentido estatístico exigido pela definição (isto é, “beta significativamente maior que 1”).
- Dica prática para a prova: escreva que o beta pontual é
mas que o teste falha em rejeitar ao nível usual de 5% (mostre o cálculo do t).
Passo 5
Agora testando se o intercepto é significativamente diferente de zero.
- Hipóteses (teste bilateral):
- Estatística:
Calculemos:
- Comparação com crítico bilateral a 5%:
. Como , rejeita-se ao nível de 5%. - P-valor aproximado: para
e gl, o p-valor bilateral é aproximadamente (ou seja, menor que ).
Conclusão técnica: o intercepto é estatisticamente diferente de zero.
Passo 6
Interpretação prática do intercepto e observações finais (como justificar na prova):
- O intercepto estimado
(unidade: mesma unidade das taxas de retorno mensais fornecidas) e significativo indica que, em média, a IBM apresentou um retorno “anômalo” positivo de cerca de por período além do que seria previsto pela relação linear com o retorno do mercado. Em termos simples: após controlar pela sensibilidade ao mercado ( ), há um excesso médio de retorno positivo e estatisticamente significativo. - Cuidado ao interpretar: esse “alpha” pode refletir:
- habilidade do gestor (ou performance da própria ação) durante o período;
- fatores de risco relevantes ausentes do modelo simples (CAPM) — ou seja, o modelo pode estar omitindo variáveis que explicariam esse excesso;
- acaso estatístico ou problemas de especificação.
- Se quiser avaliar magnitude econômica: se as taxas são em porcentagem mensal, uma alfa de
ao mês corresponde a cerca de ao ano em simples (para anualização composta usar transformação adequada). Sempre deixe claro que isso é uma aproximação simples.
Resposta
(a) Não. Apesar de
, o teste unilateral
(nível de 5%), logo não há evidência estatística suficiente para afirmar que
.
(b) Sim. O intercepto é significativamente diferente de zero: (teste bilateral a 5%), indicando um
positivo e estatisticamente significativo (excesso médio de retorno, na unidade das taxas mensais).
(b) Sim. O intercepto é significativamente diferente de zero: