O que se conhece por linha característica na análise moderna de investimentos nada mais é do que a regressão obtida por meio do seguinte modelo:
r_{i t}=\alpha_{i}+\beta_{i} r_{m t}+u_{t}
Em que, r_{i t} : taxa de retorno do i - éssimo ativo no período t
r_{m t} : taxa de retorno do portfólio de mercado no período t
u_{t} : é o termo de erro estocástico.
Neste modelo, \beta_{i} é conhecido como o coeficiente beta do i-ésimo ativo, uma medida do risco de mercado (ou risco sistêmico) de um ativo.
Com base em 240 taxas de retorno mensais do período 1956-1976, Fogler e Ganapathy obtiveram a seguinte linha característica para as ações da IBM em relação ao índice de portfólio de mercado calculado pela Universidade de Chicago:
\begin{gathered} \hat{r}_{i t}=0,7264+1,0598 r_{m t} \\\ d p=(0,3001)(0,0728) \\\ r^{2}=0,4710 ; g l=238 ; F_{1.238}=211,896 \end{gathered}
a) Diz-se que um ativo cujo coeficiente beta é maior que um é um papel volátil ou agressivo. As ações da IBM foram voláteis durante o período estudado?
b) O coeficiente do intercepto é significativamente diferente de zero? Se for, qual o significado prático disso?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Verificar se as ações da IBM foram “voláteis/ansiosas” no período, isto é, testar se o coeficiente beta é maior que 1.
  • (b) Verificar se o coeficiente do intercepto é significativamente diferente de zero e explicar o significado prático.
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
  • Equação estimada: \hat{r}_{it}=0,7264+1,0598\,r_{mt}.
  • Erros padrão (entre parênteses): para o intercepto \text{se}(\hat\alpha)=0,3001 e para \hat\beta \text{se}(\hat\beta)=0,0728.
  • R^{2}=0,4710.
  • Graus de liberdade: 238 (indicados).
  • Estatística F mostrada: F_{1,238}=211,896.

Passo 2

Primeira coisa que ensinar: como testar hipóteses sobre coeficientes de regressão (passo a passo que vale na prova).
  • Fórmula do t-estatístico para testar H_0: \theta=\theta_0 é
t=\frac{\hat\theta-\theta_0}{\text{se}(\hat\theta)}.
Aqui \hat\theta é a estimativa (ex.: \hat\beta ou \hat\alpha) e \text{se}(\hat\theta) é o erro padrão dado pela regressão (os números entre parênteses no enunciado).
  • Decisão: comparar |t| com o valor crítico da distribuição t com os g.l. apropriados. Para muitos casos práticos, com 238 graus de liberdade, os valores críticos aproximados são:
    • para teste bilateral a 5%: t_{0,025,238}\approx 1,97;
    • para teste unilateral (nível de 5%): t_{0,05,238}\approx 1,645.
  • Alternativamente pode-se usar p-valor: p-value pequeno (menor que o nível escolhido) → rejeita H_0.
Vamos aplicar isso a cada pergunta.

Passo 3

Testando se a ação é volátil: hipótese para \beta.
  • Hipóteses (teste unilateral, pois queremos saber se \beta>1):
H_0:\beta \le 1,\qquad H_1:\beta>1.
  • Estatística:
t=\frac{\hat\beta-1}{\text{se}(\hat\beta)}=\frac{1,0598-1}{0,0728}.
Calculemos passo a passo:
1,0598-1=0,0598,
t=\frac{0,0598}{0,0728}\approx 0,822.
  • Comparação com o crítico (unilateral, 5%): t_{0,05,238}\approx 1,645. Como 0,822<1,645, não rejeitamos H_0 ao nível de 5%.
  • P-valor aproximado: para t\approx0,822 e 238 gl, o p-valor unilateral é aproximadamente 0,206 (portanto o bilateral seria \approx0,412). Esse p-valor é bem maior que 0,05.
Conclusão técnica: embora \hat\beta=1,0598>1, a diferença em relação a 1 não é estatisticamente significativa com os dados (não há evidência suficiente para afirmar que \beta>1).

Passo 4

Interpretação didática (como responder na prova para (a)):
  • O ponto estimado sugere um beta ligeiramente acima de 1, o que, isoladamente, apontaria para maior sensibilidade da IBM ao mercado (mais “volátil”/agressiva).
  • Contudo, na estatística o que importa é se essa diferença é robusta frente à incerteza (erro padrão). Como o teste não mostrou significância, não se pode afirmar com confiança que IBM foi um papel volátil no sentido estatístico exigido pela definição (isto é, “beta significativamente maior que 1”).
  • Dica prática para a prova: escreva que o beta pontual é 1,0598 mas que o teste H_0:\beta=1 falha em rejeitar ao nível usual de 5% (mostre o cálculo do t).

Passo 5

Agora testando se o intercepto é significativamente diferente de zero.
  • Hipóteses (teste bilateral):
H_0:\alpha=0,\qquad H_1:\alpha\ne0.
  • Estatística:
t=\frac{\hat\alpha-0}{\text{se}(\hat\alpha)}=\frac{0,7264}{0,3001}.
Calculemos:
t\approx \frac{0,7264}{0,3001}\approx 2,421.
  • Comparação com crítico bilateral a 5%: t_{0,025,238}\approx 1,97. Como 2,421>1,97, rejeita-se H_0 ao nível de 5%.
  • P-valor aproximado: para t\approx2,421 e 238 gl, o p-valor bilateral é aproximadamente 0,016 (ou seja, menor que 0,05).
Conclusão técnica: o intercepto é estatisticamente diferente de zero.

Passo 6

Interpretação prática do intercepto e observações finais (como justificar na prova):
  • O intercepto estimado \hat\alpha=0,7264 (unidade: mesma unidade das taxas de retorno mensais fornecidas) e significativo indica que, em média, a IBM apresentou um retorno “anômalo” positivo de cerca de 0,7264 por período além do que seria previsto pela relação linear com o retorno do mercado. Em termos simples: após controlar pela sensibilidade ao mercado ( \beta), há um excesso médio de retorno positivo e estatisticamente significativo.
  • Cuidado ao interpretar: esse “alpha” pode refletir:
    • habilidade do gestor (ou performance da própria ação) durante o período;
    • fatores de risco relevantes ausentes do modelo simples (CAPM) — ou seja, o modelo pode estar omitindo variáveis que explicariam esse excesso;
    • acaso estatístico ou problemas de especificação.
  • Se quiser avaliar magnitude econômica: se as taxas são em porcentagem mensal, uma alfa de 0,7264\% ao mês corresponde a cerca de 0,7264\times12\approx 8,72\% ao ano em simples (para anualização composta usar transformação adequada). Sempre deixe claro que isso é uma aproximação simples.

Resposta

(a) Não. Apesar de \hat\beta=1,0598>1, o teste unilateral \;t=\dfrac{1,0598-1}{0,0728}\approx0,822\;<1,645 (nível de 5%), logo não há evidência estatística suficiente para afirmar que \beta>1.
(b) Sim. O intercepto é significativamente diferente de zero: \;t=\dfrac{0,7264}{0,3001}\approx2,421>1,97 (teste bilateral a 5%), indicando um \alpha positivo e estatisticamente significativo (excesso médio de retorno, na unidade das taxas mensais).

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