) Dada a relação (x+y)^{2}-(x-y)^{2}=x^{4}+y^{2}, calcule \frac{d y}{d x}.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
(x+y)^{2} \;-\;(x-y)^{2} \;=\; x^{4}+y^{2}
e pede \dfrac{dy}{dx}. O assunto aqui é derivação implícita, usando a regra da cadeia e mantendo y como função de x.

Passo 2

Derivamos cada termo em relação a x, lembrando que ao derivar y aparece y'=\dfrac{dy}{dx}.
Para o primeiro termo:
\frac{d}{dx}\bigl[(x+y)^{2}\bigr] =2(x+y)\,\frac{d}{dx}(x+y) =2(x+y)(1+y').
Para o segundo termo:
\frac{d}{dx}\bigl[-(x-y)^{2}\bigr] =-2(x-y)\,\frac{d}{dx}(x-y) =-2(x-y)(1 - y').
Do lado direito:
\frac{d}{dx}\bigl[x^{4}+y^{2}\bigr] =4x^{3}+2y\,y'.

Passo 3

Reunindo tudo:
2(x+y)(1+y') \;-\;2(x-y)(1 - y') \;=\; 4x^{3}+2y\,y'.
Expandindo e simplificando:
2(x+y)+2(x+y)y' \;-\;2(x-y)+2(x-y)y' =4x^{3}+2y\,y',
2\bigl[(x+y)-(x-y)\bigr]+2\bigl[(x+y)+(x-y)\bigr]y' =4x^{3}+2y\,y',
4y +4x\,y' =4x^{3}+2y\,y'.

Passo 4

Isolamos y':
4x\,y' -2y\,y' =4x^{3}-4y,
y'(4x-2y)=4(x^{3}-y),
y'=\frac{4(x^{3}-y)}{4x-2y} =\frac{2(x^{3}-y)}{2x-y}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{2\bigl(x^{3}-y\bigr)}{2x - y}.

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