Dada a reta r:\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\\ y=3-t \\\ z=-4+2 t\end{array}\right., determinar o valor de t no ponto (7,-2,6)

Passo 1

O enunciado dá a reta
r:\begin{cases} x=2+t,\\[4pt] y=3-t,\\[4pt] z=-4+2t, \end{cases}
e pede para determinar o valor de t no ponto (7,-2,6).
Informações relevantes:
  • As equações paramétricas da reta são \;x=2+t,\;y=3-t,\;z=-4+2t\;.
  • O ponto fornecido é \;(7,-2,6)\;.
  • Para que o ponto pertença à reta, deve existir um mesmo valor de t que satisfaça as três equações simultaneamente quando substituímos x=7, y=-2 e z=6.]

Passo 2

Explicação do método: vamos substituir as coordenadas do ponto nas equações paramétricas e resolver cada equação para t. Se as três equações produziram o mesmo t, então esse é o valor buscado e o ponto pertence à reta. Isolar uma variável significa manipular a equação (somar, subtrair, multiplicar ou dividir) até que t fique sozinho em um dos lados da igualdade.

Passo 3

Usando a primeira equação \;x=2+t\; e substituindo x=7:
7 = 2 + t.
Agora isolamos t subtraindo 2 de ambos os lados:
7-2 = t,
portanto
t = 5.

Passo 4

Usando a segunda equação \;y=3-t\; e substituindo y=-2:
-2 = 3 - t.
Isolamos t subtraindo 3 de ambos os lados:
-2 - 3 = -t,
ou seja
-5 = -t.
Multiplicando por -1 (ou trocando o sinal dos dois lados) obtemos
t = 5.

Passo 5

Usando a terceira equação \;z=-4+2t\; e substituindo z=6:
6 = -4 + 2t.
Isolamos 2t somando 4 aos dois lados:
6 + 4 = 2t,
ou seja
10 = 2t.
Dividindo ambos os lados por 2 obtemos
t = 5.

Passo 6

Conclusão e interpretação: todas as três equações, após substituição das coordenadas do ponto, deram o mesmo valor \;t=5\;. Isso significa que existe um único parâmetro t que gera as três coordenadas do ponto na reta, logo o ponto (7,-2,6) pertence à reta e o valor de t nesse ponto é \;5\;.

Resposta

t=5

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