Considere uma cônica no plano cuja definição geométrica é dada pelos seguintes dados: os focos estão localizados em
e a soma das distâncias de qualquer ponto
da curva a esses focos é igual a 12 .
Com base nessas hipóteses, determine a equação reduzida da cônica, identifique o tipo de curva e escreva sua equação na forma padrão.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o que está listado abaixo.
Dados:
- Os focos são
e . - A soma das distâncias de qualquer ponto
da curva a esses focos é igual a .
Perguntas (o que precisamos responder):
- Determinar a equação reduzida da cônica (ou seja, a equação em forma padrão reduzida).
- Identificar o tipo da curva (que cônica é).
- Escrever a equação na forma padrão (se for diferente da primeira linha, colocar explicitamente).
Passo 2
Entendendo a definição geométrica que recebemos (aqui vem a mini-aula): quando a curva é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante, essa curva é uma elipse. Vamos explicar os parâmetros que usamos para descrever uma elipse centrada na origem com eixos alinhados aos eixos coordenados:
- Denotamos por
a soma constante das distâncias aos focos. Ou seja, para toda na curva vale . Assim é a semi‑maior‑distância (meio do eixo maior). - Os focos estão em
quando a elipse tem seu eixo maior ao longo do eixo . Aqui mede a distância do centro até cada foco. - As semi‑razões
e (semi‑eixos maior e menor) satisfazem a relação conhecida
Explicando rapidamente essa relação: pegue o ponto co‑vértice
(um ponto da elipse). As distâncias desse ponto aos dois focos são iguais e valem
cada uma; somando-as obtemos
, daí
e elevando ao quadrado vem
, que é equivalente à relação acima.
- A equação reduzida (forma padrão) de uma elipse centrada na origem com eixo maior no eixo
é
com
e
. (Se o eixo maior fosse o eixo
, a forma colocaria
sob
.)
Passo 3
Aplicando a definição ao problema: a soma das distâncias vale
. Pela definição da elipse nós temos
. Portanto
Explicação extra: isso é direto da definição — o valor constante
é o comprimento total do eixo maior (ou seja,
).
Passo 4
A partir das coordenadas dos focos
e
vemos que o centro da figura é a origem
(média dos focos) e que a distância do centro a cada foco é
porque cada foco está a
unidades do centro ao longo do eixo
.
Passo 5
Agora usemos a relação entre
:
Substituímos
e
:
Calculando os quadrados:
Isolando
:
Portanto
(mas para a equação só precisamos de
).
Passo 6
Escrevendo a equação reduzida (forma padrão) da elipse com eixo maior no eixo
: substituímos
e
na forma
obtendo
Passo 7
Verificações e interpretação (para você entender bem e poder usar na prova):
- Temos
, condição necessária para ser elipse (se não seria uma elipse com esses parâmetros). - O centro é
. - Os vértices do eixo maior (pontos mais externos ao longo do eixo
) são . - Os focos confirmam os dados:
. - O semi‑eixo menor é
, então os co‑vértices são .
Resposta
Elipse (forma padrão: