Considere uma cônica no plano cuja definição geométrica é dada pelos seguintes dados: os focos estão localizados em
F_{1}=(-4,0) \quad \text { e } \quad F_{2}=(4,0)
e a soma das distâncias de qualquer ponto P(x, y) da curva a esses focos é igual a 12 .
Com base nessas hipóteses, determine a equação reduzida da cônica, identifique o tipo de curva e escreva sua equação na forma padrão.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que está listado abaixo.
Dados:
  • Os focos são F_{1}=(-4,0) e F_{2}=(4,0).
  • A soma das distâncias de qualquer ponto P(x,y) da curva a esses focos é igual a 12.
Perguntas (o que precisamos responder):
  • Determinar a equação reduzida da cônica (ou seja, a equação em forma padrão reduzida).
  • Identificar o tipo da curva (que cônica é).
  • Escrever a equação na forma padrão (se for diferente da primeira linha, colocar explicitamente).

Passo 2

Entendendo a definição geométrica que recebemos (aqui vem a mini-aula): quando a curva é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante, essa curva é uma elipse. Vamos explicar os parâmetros que usamos para descrever uma elipse centrada na origem com eixos alinhados aos eixos coordenados:
  • Denotamos por \;2a\; a soma constante das distâncias aos focos. Ou seja, para toda P na curva vale \;PF_{1}+PF_{2}=2a. Assim \;a\; é a semi‑maior‑distância (meio do eixo maior).
  • Os focos estão em (\pm c,0) quando a elipse tem seu eixo maior ao longo do eixo x. Aqui c>0 mede a distância do centro até cada foco.
  • As semi‑razões a e b (semi‑eixos maior e menor) satisfazem a relação conhecida
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Explicando rapidamente essa relação: pegue o ponto co‑vértice (0,b) (um ponto da elipse). As distâncias desse ponto aos dois focos são iguais e valem \sqrt{c^{2}+b^{2}} cada uma; somando-as obtemos 2\sqrt{c^{2}+b^{2}}=2a, daí \sqrt{c^{2}+b^{2}}=a e elevando ao quadrado vem c^{2}+b^{2}=a^{2}, que é equivalente à relação acima.
  • A equação reduzida (forma padrão) de uma elipse centrada na origem com eixo maior no eixo x é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
com a>b>0 e c^{2}=a^{2}-b^{2}. (Se o eixo maior fosse o eixo y, a forma colocaria a^{2} sob y^{2}.)

Passo 3

Aplicando a definição ao problema: a soma das distâncias vale 12. Pela definição da elipse nós temos 2a=12. Portanto
a=6.
Explicação extra: isso é direto da definição — o valor constante 12 é o comprimento total do eixo maior (ou seja, 2a).

Passo 4

A partir das coordenadas dos focos F_{1}=(-4,0) e F_{2}=(4,0) vemos que o centro da figura é a origem (0,0) (média dos focos) e que a distância do centro a cada foco é
c=4,
porque cada foco está a 4 unidades do centro ao longo do eixo x.

Passo 5

Agora usemos a relação entre a,b,c:
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Substituímos a=6 e c=4:
4^{2}=6^{2}-b^{2}.
Calculando os quadrados:
16=36-b^{2}.
Isolando b^{2}:
b^{2}=36-16=20.
Portanto b=\sqrt{20}=2\sqrt{5} (mas para a equação só precisamos de b^{2}).

Passo 6

Escrevendo a equação reduzida (forma padrão) da elipse com eixo maior no eixo x: substituímos a^{2}=36 e b^{2}=20 na forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
obtendo
\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1.

Passo 7

Verificações e interpretação (para você entender bem e poder usar na prova):
  • Temos a=6>c=4, condição necessária para ser elipse (se a\le c não seria uma elipse com esses parâmetros).
  • O centro é (0,0).
  • Os vértices do eixo maior (pontos mais externos ao longo do eixo x) são (\pm a,0)=(\pm 6,0).
  • Os focos confirmam os dados: (\pm c,0)=(\pm 4,0).
  • O semi‑eixo menor é b=\sqrt{20}=2\sqrt{5}, então os co‑vértices são (0,\pm 2\sqrt{5}).

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1
Elipse (forma padrão: \displaystyle \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1; centro (0,0), vértices (\pm6,0), focos (\pm4,0)).

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