3.3- Dada a seguinte distribuição hipotética de pressões \mathrm{p}=\mathrm{xy}+\left(\mathrm{x}+\mathrm{z}^{2}\right)+10, qual a força por unidade de volume sobre um elemento do meio fluido situado no ponto \mathrm{x}=10, \mathrm{y}=3, \mathrm{z}=4, na direção \overrightarrow{\boldsymbol{e}}=0,95 \vec{i}+0,32 \vec{j}

Passo 1

O enunciado dá o campo de pressão
p(x,y,z)=xy+\bigl(x+z^{2}\bigr)+10
e pede a força por unidade de volume num ponto (x,y,z)=(10,3,4) na direção \overrightarrow{e}=0,95\,\mathbf{i}+0,32\,\mathbf{j}.
Conteúdo: cálculo de gradiente de um escalar e projeção de vetor (força por volume f=-\nabla p) numa direção.

Passo 2

Calcular o gradiente
\nabla p=\Bigl(\frac{\partial p}{\partial x},\,\frac{\partial p}{\partial y},\,\frac{\partial p}{\partial z}\Bigr).
Derivadas: \displaystyle\frac{\partial p}{\partial x}=y+1,\quad\frac{\partial p}{\partial y}=x,\quad\frac{\partial p}{\partial z}=2z.

Passo 3

Avaliar em (10,3,4):
\frac{\partial p}{\partial x}=3+1=4,\quad \frac{\partial p}{\partial y}=10,\quad \frac{\partial p}{\partial z}=2\cdot4=8.
Logo \nabla p(10,3,4)=(4,\,10,\,8).

Passo 4

A força por unidade de volume é
\mathbf{f}=-\nabla p=(-4,\,-10,\,-8).
Para obter o componente na direção \overrightarrow{e}, assumimos \overrightarrow{e} aproximadamente unitário (pois 0{,}95^{2}+0{,}32^{2}\approx1).

Passo 5

O componente de \mathbf{f} em \overrightarrow{e} é
\mathbf{f}\cdot\overrightarrow{e} =-4\cdot0{,}95\;+\;(-10)\cdot0{,}32 =-3{,}8\;-\;3{,}2 =-7{,}0.

Resposta

A força por unidade de volume na direção dada vale -7{,}0 (unidades de força por volume).

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