Dada a seguinte equação
, e sabendo que
e
, temos que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação que relaciona energia potencial e energia cinética. A matéria envolvida aqui é Energia Mecânica. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas que relacionam o momento de inércia $ I $ e a velocidade angular $ \omega $ com a massa $ M $, raio $ R $, e velocidade $ V $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação dada:
Aqui, $ M g h $ é a energia potencial gravitacional, e os termos à direita representam as energias cinética de rotação e translação.
Passo 3
Sabemos que:
Isso nos diz que o momento de inércia depende de uma constante $ c $, da massa $ M $ e do raio $ R $.
Passo 4
Também temos que:
A velocidade angular $ \omega $ está relacionada à velocidade linear $ V $ e ao raio $ R $.
Passo 5
Vamos substituir $ I $ e $ \omega $ na equação original. Primeiro, substituindo $ I $:
Passo 6
Agora, substituindo $ \omega $ por $ \frac{V}{R} $:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro do parênteses:
Então:
Passo 8
Agora, multiplicando $ c M R^{2} $ por $ \frac{V{2}}{R{2}} $:
Portanto, a equação fica:
Passo 9
Vamos fatorar $ \frac{1}{2} M V^{2} $ dos dois termos:
Passo 10
Para isolar $ h $, dividimos ambos os lados por $ M g $:
Passo 11
Simplificando $ M $ no numerador e denominador:
Resposta
A altura $ h $ é dada por: