Dada a seguinte equação M g h=12 I omega^2+12 M V^2, e sabendo que I=c M R^2 e omega=VR, temos que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação que relaciona energia potencial e energia cinética. A matéria envolvida aqui é Energia Mecânica. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas que relacionam o momento de inércia $ I $ e a velocidade angular $ \omega $ com a massa $ M $, raio $ R $, e velocidade $ V $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação dada:
M g h = 12 I omega^2 + 12 M V^2
Aqui, $ M g h $ é a energia potencial gravitacional, e os termos à direita representam as energias cinética de rotação e translação.

Passo 3

Sabemos que:
I = c M R^2
Isso nos diz que o momento de inércia depende de uma constante $ c $, da massa $ M $ e do raio $ R $.

Passo 4

Também temos que:
omega = VR
A velocidade angular $ \omega $ está relacionada à velocidade linear $ V $ e ao raio $ R $.

Passo 5

Vamos substituir $ I $ e $ \omega $ na equação original. Primeiro, substituindo $ I $:
I

Passo 6

Agora, substituindo $ \omega $ por $ \frac{V}{R} $:
omega

Passo 7

Simplificando a expressão dentro do parênteses:
(VR)^2 = V^2R^2
Então:
M g h = 12 (c M R^2) (V^2R^2) + 12 M V^2

Passo 8

Agora, multiplicando $ c M R^{2} $ por $ \frac{V{2}}{R{2}} $:
c M R^2
Portanto, a equação fica:
V^2R^2

Passo 9

Vamos fatorar $ \frac{1}{2} M V^{2} $ dos dois termos:
12 M V^2

Passo 10

Para isolar $ h $, dividimos ambos os lados por $ M g $:
h

Passo 11

Simplificando $ M $ no numerador e denominador:
M

Resposta

A altura $ h $ é dada por:
h

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