Dada a seguinte função de transferência:
G(s)=\frac{K(s+2)^{2}}{\left(s^{2}+4\right)(s+5)^{2}}
a. Esboçar o lugar geométrico das raízes para K=25.
b. Encontre a faixa de valores de K para a qual o sistema é estável.
c. Use o Matlab (ou outro software) para verificar o lugar geométrico esboçado em a.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função de transferência
G(s)=\frac{K(s+2)^{2}}{\left(s^{2}+4\right)(s+5)^{2}}.
Vou listar claramente o que é pedido e os dados relevantes que o enunciado dá:
  • Pergunta (a): Esboçar o lugar geométrico das raízes (root locus) para K=25. Em prática isto significa localizar os polos do laço fechado quando K=25 e descrever a forma do lugar geométrico nesse caso.
  • Pergunta (b): Determinar a faixa de valores de K para a qual o sistema em realimentação unitária é estável.
  • Pergunta (c): Usar MATLAB (ou outro software) para verificar o esboço do item (a).
Informações relevantes extraídas diretamente da função de transferência:
  • Zeros abertos: s=-2 com multiplicidade 2 (porque numerador (s+2)^2).
  • Polos abertos: polos em \;s=\pm 2j (da fator s^2+4) e polos em s=-5 com multiplicidade 2 (do fator (s+5)^2).
  • Ordem do polinômio do denominador (n) = 4; número de zeros (m) = 2; logo há n-m=2 ramos do locus que vão para infinito (dois assimptotas).
A partir daqui eu começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Característica do sistema em malha unitária e obtenção do polinômio característica.
Em realimentação unitária o polinômio característico é
1+G(s)=0\quad\Longrightarrow\quad 1+\frac{K(s+2)^{2}}{(s^{2}+4)(s+5)^{2}}=0,
ou equivalentemente
(s^{2}+4)(s+5)^{2}+K(s+2)^{2}=0.
Vou expandir o primeiro termo passo a passo:
(s^{2}+4)(s+5)^{2}=(s^{2}+4)(s^{2}+10s+25).
Multiplicando:
(s^{2}+4)(s^{2}+10s+25)=s^{4}+10s^{3}+25s^{2}+4s^{2}+40s+100
\quad = s^{4}+10s^{3}+29s^{2}+40s+100.
Somando K(s+2)^2=K(s^2+4s+4)=K s^2 +4K s +4K, obtemos o polinômio característico completo
\boxed{s^{4}+10s^{3}+(29+K)s^{2}+(40+4K)s+(100+4K)=0.}
Esse polinômio é o que vamos analisar para o locus e para a estabilidade.

Passo 3

Identificação dos polos e zeros abertos e regras úteis do lugar das raízes (mini-aula prática).
  • Polos abertos (pontos de partida dos ramos do root locus):
    • s_{p1}=-5 (multiplicidade 2),
    • s_{p2}=+2j,\; s_{p3}=-2j.
  • Zeros abertos (pontos de chegada finita de ramos):
    • s_{z1}=-2 (multiplicidade 2).
Regras úteis que vamos usar para esboçar o root locus:
  1. Existem tantos ramos quanto polos (aqui 4 ramos).
  2. Dois ramos (porque n-m=2) vão para infinito ao longo de assimptotas. As direções das assimptotas são \theta_k = \frac{(2k+1)\pi}{n-m} = \frac{(2k+1)\pi}{2},isto é, \theta=\pm 90^\circ (vertical para cima e para baixo).
  3. O centróide (ponto de interseção das assimptotas com o eixo real) é \sigma_a = \frac{\sum (\text{polos}) - \sum (\text{zeros})}{n-m}.Aqui \sum \text{polos} = -5-5+2j-2j = -10 e \sum \text{zeros} = -2-2=-4. Então \sigma_a = \frac{-10-(-4)}{2}=\frac{-6}{2}=-3.Logo as assimptotas partem do ponto real -3 e vão verticalmente para cima/baixo.
  4. Segmentos do eixo real pertencentes ao locus: conta-se, em cada ponto real, quantos polos+zeros estão à direita; se for ímpar, o ponto faz parte do locus. Aqui os únicos elementos reais são -5 (duplo) e -2 (zero duplo); com isso, entre -5 e -2 o locus pode ter comportamento especial (possíveis pontos de ruptura), e à esquerda de -5 e entre -2 e +\infty deve-se verificar o critério (mas como a maior parte dos polos/zeros são complexos, a maioria dos ramos será no plano complexo).
  5. Para localização precisa de pontos para um K dado usamos o polinômio característico (já obtido) e resolvemos numericamente.
Com estas regras, já temos intuição sobre a forma geral: dois ramos começarão em s=-5 (um deles normalmente se dirige para um zero em -2, outro também pode ir para o outro zero em -2 ou para o infinito dependendo do arranjo), e os polos em \pm 2j se deslocam para encontrar os zeros ou ir para as assimptotas. Agora vamos ao caso numérico pedido em (a).

Passo 4

Caso (a): determinar os polos do laço fechado quando [K=25) — cálculo exato dos polos.
Substituindo K=25 no polinômio característico obtido no Passo 2:
s^{4}+10s^{3}+(29+25)s^{2}+(40+4\cdot25)s+(100+4\cdot25)=0,
ou seja
\boxed{s^{4}+10s^{3}+54s^{2}+140s+200=0.}
Para encontrar as raízes, procuro fatorar este polinômio em dois quadráticos com coeficientes reais:
assumo
s^{4}+10s^{3}+54s^{2}+140s+200=(s^{2}+a s + b)(s^{2}+c s + d).
Comparando coeficientes obtém-se o sistema
\begin{cases} a+c=10,\\[4pt] ac + b + d =54,\\[4pt] a d + b c =140,\\[4pt] b d =200. \end{cases}
Procurando fatores razoáveis de 200\] observei \(b=10 e d=20 (pois 10\cdot20=200). Substituindo:
ac + 10 + 20 = 54 \\ \Rightarrow\\ ac =24,
e
a+c=10,\quad ac=24
essas duas condições implicam a e c são raízes de t^{2}-10t+24=0, cujas raízes são t=4 e t=6. Logo podemos escolher a=4,\\ c=6. Verificando o termo do primeiro grau:
a d + b c =4\cdot20 + 10\cdot6 =80 + 60 =140,
que confere. Assim a fatoração é
s^{4}+10s^{3}+54s^{2}+140s+200=(s^{2}+4s+10)(s^{2}+6s+20).
Agora resolvo as quadráticas com a fórmula de Bhaskara (aqui é uma revisão rápida da fórmula):
Para uma quadrática \;s^{2}+ps+q=0\; as raízes são
s=\frac{-p\pm\sqrt{p^{2}-4q}}{2}.
Aplicando na primeira:
s^{2}+4s+10=0 \quad\Rightarrow\quad s=\frac{-4\pm\sqrt{16-40}}{2}=\frac{-4\pm j\sqrt{24}}{2}=-2\pm j\sqrt{6}.
Numericamente:
\sqrt{6}\approx 2,4495,
portanto os dois polos são s\approx -2\pm j\,2,4495.
Aplicando na segunda:
s^{2}+6s+20=0 \quad\Rightarrow\quad s=\frac{-6\pm\sqrt{36-80}}{2}=\frac{-6\pm j\sqrt{44}}{2}=-3\pm j\sqrt{11}.
Numericamente:
\sqrt{11}\approx 3,3166,
portanto os dois polos são s\approx -3\pm j\,3,3166.
Esses quatro pontos correspondem aos polos do sistema em malha fechada quando K=25. Eles estão todos no semiplano esquerdo (parte real negativa), logo para K=25 o sistema é estável.]

Passo 5

Descrição e esboço qualitativo do lugar das raízes (dicas para desenhar à mão e interpretação dos resultados do Passo 4)
Com as informações:
  • polos abertos: -5 (duplo) e \pm 2j;
  • zeros abertos: -2 (duplo);
  • assimptotas: duas, com centro em -3 e ângulos \pm 90^\circ,
o esboço típico do root locus é o seguinte (descrição para desenhar à mão):
  • dois ramos partem de s=-5 (um de cada polo duplo) e tendem a ir em direção aos zeros em -2 ou ao infinito dependendo da interação;
  • os polos em \pm 2j (no eixo imaginário) deslocam-se para a esquerda e tornam-se complexos com parte real negativa; para K=25 eles já estão deslocados para os pontos encontrados -2\pm j2,4495 e -3\pm j3,3166 (dois pares conjugados).
  • dois ramos seguem para as assimptotas verticais a partir do centróide -3.
  • Como verificado numericamente, para K=25 todos os polos fechados ficam em posições com parte real negativa (os pontos listados no Passo 4).
Se for necessário, mais adiante eu mostro os comandos MATLAB/Octave para gerar exatamente esse gráfico e marcar os polos calculados.

Passo 6

Caso (b): determinar o(s) valor(es) de K para os quais o sistema é estável (análise pelo critério de Routh — mini-aula e aplicação).
Vou montar a tabela de Routh para o polinômio geral
s^{4}+10s^{3}+(29+K)s^{2}+(40+4K)s+(100+4K)=0.
Routh (coluna por coluna) — calculo passo a passo:
Linha s^{4}: coeficientes 1,\;29+K,\;100+4K.
Linha s^{3}: coeficientes 10,\;40+4K,\;0.
Linha s^{2}:
E=\frac{10(29+K)-1(40+4K)}{10}=25+0,6K,
e o segundo elemento da linha s^2 é
100+4K.
Linha s^{1}: o primeiro elemento G é
G=\frac{E(40+4K)-10(100+4K)}{E}.
Vou simplificar o numerador:
\text{num} = (25+0{,}6K)(40+4K)-1000-40K.
Fazendo as multiplicações:
\text{num}=1000 +100K +24K +2{,}4K^{2} -1000 -40K = 2{,}4K^{2}+84K.
Logo
G=\frac{2{,}4K^{2}+84K}{25+0{,}6K}=\frac{0{,}6K(4K+140)}{25+0{,}6K}.
Linha s^{0}: H=100+4K.
Regra de estabilidade de Routh: para estabilidade estrita todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh devem ter o mesmo sinal (no caso usual tomamos o sinal positivo). Assim precisamos:
1>0,\quad 10>0,\quad E>0,\quad G>0,\quad H>0.
Os dois primeiros são verdadeiros. Vamos analisar as três desigualdades restantes:
  1. E>0
25+0{,}6K>0 \quad\Rightarrow\quad K>- \frac{25}{0{,}6} = -41{,}666\ldots
  1. H>0
100+4K>0 \quad\Rightarrow\quad K>-25.
  1. G>0 depende do sinal de \,2{,}4K^{2}+84K = 2{,}4K(K+35)\, (o denominador E já está sendo exigido positivo pela condição 1). Assim o numerador é positivo se e somente se
K(K+35)>0 \quad\Rightarrow\quad K>0 \\ \text{ou}\\ K<-35.
Agora combinar as três condições (1),(2),(3):
  • A condição H>0 exige K>-25. Isso exclui a possibilidade K<-35 (pois então K<-35<-25 violaria H>0). Portanto a única escolha possível que satisfaz todas é
K>0.
Observações importantes:
  • Para K=0 o sistema tem polos em laço aberto (polos em \pm 2j), isto é marginalmente estável (pólos no eixo imaginário). Portanto K=0 não é estabilidade estrita.
  • Para qualquer K>0 todas as entradas da primeira coluna de Routh são positivas, logo o sistema em malha fechada é estritamente estável.
  • Para K<0 surge pelo menos uma mudança de sinal na primeira coluna (instabilidade ou marginal), portanto não estável.
Portanto a faixa de valores de K que garante estabilidade estrita é
\boxed{K>0.}

Passo 7

Caso (c): como verificar no MATLAB / Octave (instruções e comandos, e como obter os polos para K=25).
Sugestão de comandos (MATLAB ou GNU Octave):
Opção 1 — traçar lugar das raízes do sistema aberto (gain variável) e marcar K=25:
s = tf('s');
Gopen = (s+2)^2/((s^2+4)*(s+5)^2);
rlocus(Gopen)        % plota o lugar das raízes para K variável
grid on
hold on
% obter as posições exatas dos polos para K = 25:
r = rlocus(Gopen,25)   % r será um 4x1 vetor com as raízes para K=25
plot(real(r), imag(r), 'x','MarkerSize',10)  % marca as raízes encontradas
Opção 2 — formar o sistema de malha fechada diretamente e pedir seus polos:
K = 25;
Gopen = (s+2)^2/((s^2+4)*(s+5)^2);
Gcl = feedback(K*Gopen, 1);   % sistema em malha fechada com ganho K
p = pole(Gcl)                 % retorna os polos do laço fechado
Se rodar o segundo trecho espera-se obter os polos exatamente iguais aos calculados no Passo 4:
s=-2\pm j\sqrt{6}\quad\text{e}\quad s=-3\pm j\sqrt{11},
ou numericamente aproximadamente
s\approx -2\pm j\,2{,}4495,\qquad s\approx -3\pm j\,3{,}3166.
Esses comandos permitem verificar o esboço e confirmar a posição numérica exata das raízes para K=25.

Resposta

(a) Polos do laço fechado para K=25: -2\pm j\sqrt{6} e -3\pm j\sqrt{11} (aprox. -2\pm j\,2,4495 e -3\pm j\,3,3166).
(b) O sistema é estável para \;K>0\; (para K=0 é marginalmente estável).
(c) Comandos MATLAB/Octave para verificar:
\texttt{s=tf('s');}\quad \texttt{Gopen=(s+2)^2/((s^2+4)*(s+5)^2);} \quad \texttt{rlocus(Gopen);}\quad \texttt{r=rlocus(Gopen,25);} \quad \texttt{pole(feedback(25*Gopen,1))}

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