Deseja-se uma resposta em malha fechada tal que o coeficiente de amortecimento seja 0,3 e que o erro a estado estacionário seja menor ou igual a 0,1 para rampa \mathrm{r}(\mathrm{t})=3 \mathrm{t}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (assumindo a configuração de malha fechada com realimentação unitária negativa, que é o caso padrão quando não é dito o contrário).
Planta em malha aberta:
G(s)=\frac{K}{s(s+5)(s+15)}.
Quer-se uma resposta em malha fechada tal que:
o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes seja \zeta=0,3;
o erro em regime permanente para entrada rampa r(t)=3t seja \leq 0,1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Tipo do sistema (número de integrais no laço direto) é 1 (há um fator s no denominador de G(s)).
Para sistemas em malha unitária o erro em regime permanente para uma rampa de inclinação A (aqui A=3) é dado por
e_{ss}=\frac{A}{K_v},
onde
K_v=\lim_{s\to0} sG(s)
é o ganho de velocidade estático.
A equação característica da malha fechada (realimentação unitária) é
Portanto, para satisfazer o requisito do erro de rampa com ganho escalar puro na planta, é necessário
K\ge 2250.
Passo 3
Calcular que valor de [K) faria o amortecimento dos polos dominantes ser \zeta=0,3, assumindo que é possível caracterizar os dois polos dominantes por um par complexo conjugado e o terceiro polo por um polo real não-dominante.
Escrevemos o polinômio característico e assumimos a fatoração
Portanto, para obter \zeta=0,3 supondo que os dois polos dominantes se comportam como o par complexo desejado, seria necessário
K\approx 416{,}5.]
Passo 4
Comparação das duas condições e conclusão lógica.
Requisito de erro de rampa: K\ge 2250.
Requisito de amortecimento \zeta=0,3: K\approx 416{,}5.
Esses dois valores são incompatíveis: o ganho que dá \zeta=0,3 é muito menor que o ganho mínimo para satisfazer o erro em rampa. Ou seja, NÃO É POSSÍVEL satisfazer simultaneamente as duas especificações usando APENAS um ganho escalares K na planta dada.
Comentário físico curto e intuitivo (didático): aumentar K reduz o erro em regime (aumenta K_v), mas também altera as posições dos polos fechados e, normalmente, muda o amortecimento dos pares dominantes. No nosso caso um K grande o suficiente para o erro exigido deslocaria os polos para posições que não correspondem ao \zeta=0,3 desejado; e o K que daria \zeta=0,3 deixa erro de rampa muito grande.
Passo 5
O que fazer então? (solução prática e didática)
Conclusão: com apenas ganho escalar não se consegue cumprir as duas especificações. É necessário introduzir um compensador (controlador) para conseguir as duas metas ao mesmo tempo.
Uma solução prática comum é usar um controlador do tipo PI (proporcional–integral). Por quê?
A parte integral adiciona mais um polo na origem ao laço direto, aumentando o tipo do sistema de 1 para 2. Um sistema de tipo 2 tem erro em regime nulo para entrada rampa (ou seja, e_{ss}=0 para rampa), o que resolve facilmente a exigência numérica do erro (ficará bem abaixo de 0{,}1).
A parte proporcional/zero do PI permite moldar a resposta transitória e posicionar os polos dominantes (através do ajuste do zero do compensador e do ganho) para obter o amortecimento desejado \zeta=0{,}3.
Estratégia de projeto (passos práticos que se aplicam na prova):
Analisar o loop aberto compensado L(s)=C(s)G(s) e o polinômio característico 1+L(s)=0.
Ajustar T_i (posição do zero do PI) para colocar um zero do compensador em uma região que melhore o amortecimento (por exemplo entre -5 e -15 ou em outro lugar que o projeto de root locus indicar).
Ajustar K_c para que os polos dominantes do laço fechado tenham o coeficiente de amortecimento \zeta=0{,}3. Isso pode ser feito por técnica de root-locus, por colocação de polos (pole-placement) num modelo reduzido ou por ensaio e ajuste numérico (ou com auxílio de software).
Verificar que, por causa do integrador adicional, o erro para rampa torna-se zero (ou muito pequeno), atendendo a especificação e_{ss}\le 0{,}1.
Observação: existem outras alternativas de compensação (ex.: controlador PID com ajuste de derivativo para moldar amortecimento, ou emprego de um compensador de avanço + ganho) — a escolha depende de restrições práticas e de quais parâmetros são fáceis de ajustar na prova/na prática.
Resposta
K\approx 416{,}5 (valor que dá \zeta=0{,}3 assumindo um par dominante),\ K\ge 2250 (requisito para e_{ss}\le 0{,}1 para rampa r(t)=3t),\
Conclusão: não é possível satisfazer simultaneamente as duas especificações apenas variando o ganho K. É necessário projetar um compensador (por exemplo um controlador PI) para tornar o sistema do tipo 2 (eliminando o erro de rampa) e, ao mesmo tempo, ajustar o zero e o ganho do compensador para obter \zeta=0{,}3.