Seja:
G H(s)=\frac{K}{s(s+5)(s+15)}
Deseja-se uma resposta em malha fechada tal que o coeficiente de amortecimento seja 0,3 e que o erro a estado estacionário seja menor ou igual a 0,1 para rampa \mathrm{r}(\mathrm{t})=3 \mathrm{t}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (assumindo a configuração de malha fechada com realimentação unitária negativa, que é o caso padrão quando não é dito o contrário).
  • Planta em malha aberta:
G(s)=\frac{K}{s(s+5)(s+15)}.
  • Quer-se uma resposta em malha fechada tal que:
    • o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes seja \zeta=0,3;
    • o erro em regime permanente para entrada rampa r(t)=3t seja \leq 0,1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Tipo do sistema (número de integrais no laço direto) é 1 (há um fator s no denominador de G(s)).
  • Para sistemas em malha unitária o erro em regime permanente para uma rampa de inclinação A (aqui A=3) é dado por
e_{ss}=\frac{A}{K_v},
onde
K_v=\lim_{s\to0} sG(s)
é o ganho de velocidade estático.
  • A equação característica da malha fechada (realimentação unitária) é
1+G(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad s(s+5)(s+15)+K=0,
ou seja
s^3+20s^2+75s+K=0.

Passo 2

Calcular o requisito do erro de regime permanente (rampa) e converter para uma condição em K.
  • Primeiro calcule K_v:
K_v=\lim_{s\to0} s\cdot\frac{K}{s(s+5)(s+15)}=\frac{K}{(5)(15)}=\frac{K}{75}.
  • Para rampa com inclinação A=3,
e_{ss}=\frac{A}{K_v}=\frac{3}{K/75}=\frac{225}{K}.
  • A condição desejada é e_{ss}\le 0,1. Então
\frac{225}{K}\le 0,1 \quad\Longrightarrow\quad K\ge \frac{225}{0,1}=2250.
Portanto, para satisfazer o requisito do erro de rampa com ganho escalar puro na planta, é necessário
K\ge 2250.

Passo 3

Calcular que valor de [K) faria o amortecimento dos polos dominantes ser \zeta=0,3, assumindo que é possível caracterizar os dois polos dominantes por um par complexo conjugado e o terceiro polo por um polo real não-dominante.
  • Escrevemos o polinômio característico e assumimos a fatoração
s^3+20s^2+75s+K=(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2)(s+p),
onde \zeta=0,3, \omega_n>0 é a frequência natural dos polos dominantes e p>0 é tal que o terceiro polo é em s=-p.
  • Expandindo o lado direito e comparando coeficientes dá o sistema
\begin{cases} p+2\zeta\omega_n = 20,\\[4pt] 2\zeta\omega_n p + \omega_n^2 = 75,\\[4pt] \omega_n^2 p = K. \end{cases}
  • Substituindo \zeta=0,3\] na segunda equação e eliminando \(p usando a primeira:
    • Da primeira: p=20-2\zeta\omega_n=20-0,6\omega_n.
    • Sub na segunda:
0{,}6\,\omega_n(20-0{,}6\omega_n)+\omega_n^2=75.
  • Desenvolvendo:
12\omega_n-0{,}36\omega_n^2+\omega_n^2=75
0{,}64\omega_n^2+12\omega_n-75=0.
  • Resolver a quadrática para \omega_n:
\Delta=12^2-4(0{,}64)(-75)=144+192=336,
\omega_n=\frac{-12+\sqrt{336}}{2\cdot0{,}64}=\frac{-12+18{,}3303\ldots}{1{,}28}\approx4{,}945.
(raiz positiva, descartamos a negativa)
  • Agora p=20-0{,}6\omega_n\approx20-0{,}6\cdot4{,}945\approx17{,}033.
  • Finalmente
K=\omega_n^2 p\approx(4{,}945)^2\cdot17{,}033\approx416{,}48\\ (\text{aprox.}).
Portanto, para obter \zeta=0,3 supondo que os dois polos dominantes se comportam como o par complexo desejado, seria necessário
K\approx 416{,}5.]

Passo 4

Comparação das duas condições e conclusão lógica.
  • Requisito de erro de rampa: K\ge 2250.
  • Requisito de amortecimento \zeta=0,3: K\approx 416{,}5.
  • Esses dois valores são incompatíveis: o ganho que dá \zeta=0,3 é muito menor que o ganho mínimo para satisfazer o erro em rampa. Ou seja, NÃO É POSSÍVEL satisfazer simultaneamente as duas especificações usando APENAS um ganho escalares K na planta dada.
Comentário físico curto e intuitivo (didático): aumentar K reduz o erro em regime (aumenta K_v), mas também altera as posições dos polos fechados e, normalmente, muda o amortecimento dos pares dominantes. No nosso caso um K grande o suficiente para o erro exigido deslocaria os polos para posições que não correspondem ao \zeta=0,3 desejado; e o K que daria \zeta=0,3 deixa erro de rampa muito grande.

Passo 5

O que fazer então? (solução prática e didática)
  • Conclusão: com apenas ganho escalar não se consegue cumprir as duas especificações. É necessário introduzir um compensador (controlador) para conseguir as duas metas ao mesmo tempo.
  • Uma solução prática comum é usar um controlador do tipo PI (proporcional–integral). Por quê?
    • A parte integral adiciona mais um polo na origem ao laço direto, aumentando o tipo do sistema de 1 para 2. Um sistema de tipo 2 tem erro em regime nulo para entrada rampa (ou seja, e_{ss}=0 para rampa), o que resolve facilmente a exigência numérica do erro (ficará bem abaixo de 0{,}1).
    • A parte proporcional/zero do PI permite moldar a resposta transitória e posicionar os polos dominantes (através do ajuste do zero do compensador e do ganho) para obter o amortecimento desejado \zeta=0{,}3.
  • Estratégia de projeto (passos práticos que se aplicam na prova):
    1. Escolher a estrutura do compensador: por exemplo
    C(s)=K_c\left(1+\frac{1}{T_i s}\right)=K_c\frac{T_i s+1}{T_i s}.
    1. Analisar o loop aberto compensado L(s)=C(s)G(s) e o polinômio característico 1+L(s)=0.
    2. Ajustar T_i (posição do zero do PI) para colocar um zero do compensador em uma região que melhore o amortecimento (por exemplo entre -5 e -15 ou em outro lugar que o projeto de root locus indicar).
    3. Ajustar K_c para que os polos dominantes do laço fechado tenham o coeficiente de amortecimento \zeta=0{,}3. Isso pode ser feito por técnica de root-locus, por colocação de polos (pole-placement) num modelo reduzido ou por ensaio e ajuste numérico (ou com auxílio de software).
    4. Verificar que, por causa do integrador adicional, o erro para rampa torna-se zero (ou muito pequeno), atendendo a especificação e_{ss}\le 0{,}1.
  • Observação: existem outras alternativas de compensação (ex.: controlador PID com ajuste de derivativo para moldar amortecimento, ou emprego de um compensador de avanço + ganho) — a escolha depende de restrições práticas e de quais parâmetros são fáceis de ajustar na prova/na prática.

Resposta

K\approx 416{,}5 (valor que dá \zeta=0{,}3 assumindo um par dominante),\
K\ge 2250 (requisito para e_{ss}\le 0{,}1 para rampa r(t)=3t),\
Conclusão: não é possível satisfazer simultaneamente as duas especificações apenas variando o ganho K. É necessário projetar um compensador (por exemplo um controlador PI) para tornar o sistema do tipo 2 (eliminando o erro de rampa) e, ao mesmo tempo, ajustar o zero e o ganho do compensador para obter \zeta=0{,}3.

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