Dado:
Projetar um controlador para que o sistema tenha um erro de regime para entrada rampa unitária igual a
, sem alterar significativamente o transitório.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e os dados que temos.
-
Dados do problema:
- Planta em malha aberta:
- Planta em malha aberta:
-
O que se pede:
- Projetar um controlador tal que o erro em regime permanente para entrada rampa unitária seja
. - Não alterar significativamente o comportamento transitório.
- Projetar um controlador tal que o erro em regime permanente para entrada rampa unitária seja
-
Informações relevantes que usarei (fórmulas fundamentais que servem para este projeto):
- Em realimentação unitária, o erro em regime para rampa unitária
é , onde é a constante de velocidade definida por e é a função de malha aberta com o controlador . - Logo, para obter
precisamos que
- Em realimentação unitária, o erro em regime para rampa unitária
-
Observação: não inicio a resolução ainda; só listei o que foi dado e o que é pedido, conforme combinado.
Passo 2
Calcular o
da planta sem controlador e o erro atual, para ver quanto precisamos melhorar.
- Com
(sem controlador) temos - O erro em regime para rampa sem controlador é
- Mas queremos
. Portanto precisamos aumentar de para .
Passo 3
Determinar o fator de aumento necessário para
.
- Fator desejado:
- Conclusão: a ação do controlador deve aumentar o ganho efetivo em baixa frequência em um fator
.
Passo 4
Escolher o tipo de controlador considerando a restrição “sem alterar significativamente o transitório” e discutir alternativas.
-
Opções rápidas:
- Um ganho proporcional
: aumenta multiplicativamente. Para obtém-se . Porém, aumentar o ganho puro em pode modificar bastante os polos dominantes (aumenta e reduz o amortecimento), produzindo oscilação/overshoot — logo altera o transitório significativamente. - Controlador PI: adiciona integrador e tornaria o sistema tipo 2, o que resulta em erro zero para rampa (mais do que o pedido). Além disso muda fortemente o trânsito pela nova dinâmica de integrador.
- Compensador de avanço (lead): altera principalmente o comportamento transitório (aumenta margem de fase/velocidade), não é a ferramenta ideal para aumentar só o ganho em baixas frequências.
- Compensador de atraso (lag): aumenta o ganho em baixas frequências (aumenta
) sem modificar muito a resposta em faixa média/alta se projetado com pólos/zeros bem próximos da origem. Essa é a opção adequada quando se quer reduzir erro em regime sem mexer muito no transitório.
- Um ganho proporcional
-
Decisão: uso um compensador de atraso (lag) do tipocuja ganh a em DC é
. Ajustando e escolhendo bem pequenos (próximos a zero) garante aumento de ganho em baixas frequências sem grande impacto na dinâmica dominante do sistema.
Passo 5
Definir os parâmetros do compensador lag para alcançar o fator 8 e justificar escolhas numéricas pequenas (para não alterar o transitório).
- Queremos
. Usando , - Impomos
. Assim - Para tornar o projeto simples e a interpretação direta, escolho
e imponho . - Agora escolho
e pequenos em relação à dinâmica da planta (polo em e integrador em ). Valores típicos aceitáveis para não “contaminar” o trânsito são por exemplo e . Esses valores são muito menores que , então o compensador atua em frequências baixíssimas, elevando o ganho DC sem mexer substancialmente no ganho em torno da frequência natural da planta. - Assim proponho o compensador prático
Passo 6
Verificação direta do ganho de velocidade com o compensador escolhido.
- Calcular
com : - Portanto o erro em regime para rampa unitária será
exatamente o especificado.
Passo 7
Comentários finais sobre o efeito no transitório e possíveis ajustes finos.
- Por que o transitório não foi alterado significativamente?
- O compensador de atraso foi colocado com pólo e zero em frequência muito baixa (
). Assim, para frequências próximas às dominantes da planta (associadas a ou às frequências naturais), a razão fica próxima de ; o ganho em meia/alta frequência praticamente não muda, logo as raízes dominantes do laço fechado e o amortecimento não são muito afetados.
- O compensador de atraso foi colocado com pólo e zero em frequência muito baixa (
- Possível efeito prático: o compensador introduz um modo muito lento (associado ao polo em
), que pode gerar uma pequena cauda mais lenta na resposta em regime, mas desde que seja suficientemente pequeno esse efeito costuma ser desprezível nas escalas de tempo usuais da planta. Se for necessário evitar qualquer cauda lenta, pode-se escolher ainda menor, mantendo . - Se, em ensaio prático, observar-se algum aumento de tempo de acomodação, pode-se ajustar levemente
e (reduzir ) ou aplicar um pequeno ganho adicional em alto ganho de frequência média com um projeto mais fino (ex.: lag com ganho total ), mantendo sempre .