Dado:
G H(s)=\frac{5}{s(s+2)}
Projetar um controlador para que o sistema tenha um erro de regime para entrada rampa unitária igual a 1 / 20, sem alterar significativamente o transitório.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Dados do problema:
    • Planta em malha aberta: G(s)=\frac{5}{s(s+2)}.
  • O que se pede:
    • Projetar um controlador tal que o erro em regime permanente para entrada rampa unitária seja \dfrac{1}{20}.
    • Não alterar significativamente o comportamento transitório.
  • Informações relevantes que usarei (fórmulas fundamentais que servem para este projeto):
    • Em realimentação unitária, o erro em regime para rampa unitária r(t)=t é \mathrm{ess}=\dfrac{1}{K_v}, onde K_v é a constante de velocidade definida por K_v=\lim_{s\to0} s\,L(s),e L(s)=C(s)G(s) é a função de malha aberta com o controlador C(s).
    • Logo, para obter \mathrm{ess}=\dfrac{1}{20} precisamos que K_v=20.
  • Observação: não inicio a resolução ainda; só listei o que foi dado e o que é pedido, conforme combinado.

Passo 2

Calcular o K_v da planta sem controlador e o erro atual, para ver quanto precisamos melhorar.
  • Com C(s)=1 (sem controlador) temos K_{v0}=\lim_{s\to0} s\,G(s)=\lim_{s\to0} s\cdot\frac{5}{s(s+2)}=\lim_{s\to0}\frac{5}{s+2}=\frac{5}{2}=2{,}5.
  • O erro em regime para rampa sem controlador é \mathrm{ess}_0=\frac{1}{K_{v0}}=\frac{1}{2{,}5}=0{,}4.
  • Mas queremos \mathrm{ess}=1/20=0{,}05. Portanto precisamos aumentar K_v de 2{,}5 para 20.

Passo 3

Determinar o fator de aumento necessário para K_v.
  • Fator desejado: \text{fator}=\frac{K_v}{K_{v0}}=\frac{20}{2{,}5}=8.
  • Conclusão: a ação do controlador deve aumentar o ganho efetivo em baixa frequência em um fator 8.

Passo 4

Escolher o tipo de controlador considerando a restrição “sem alterar significativamente o transitório” e discutir alternativas.
  • Opções rápidas:
    • Um ganho proporcional K: aumenta K_v multiplicativamente. Para K=8 obtém-se K_v=20. Porém, aumentar o ganho puro em 8\times pode modificar bastante os polos dominantes (aumenta \omega_n e reduz o amortecimento), produzindo oscilação/overshoot — logo altera o transitório significativamente.
    • Controlador PI: adiciona integrador e tornaria o sistema tipo 2, o que resulta em erro zero para rampa (mais do que o pedido). Além disso muda fortemente o trânsito pela nova dinâmica de integrador.
    • Compensador de avanço (lead): altera principalmente o comportamento transitório (aumenta margem de fase/velocidade), não é a ferramenta ideal para aumentar só o ganho em baixas frequências.
    • Compensador de atraso (lag): aumenta o ganho em baixas frequências (aumenta K_v) sem modificar muito a resposta em faixa média/alta se projetado com pólos/zeros bem próximos da origem. Essa é a opção adequada quando se quer reduzir erro em regime sem mexer muito no transitório.
  • Decisão: uso um compensador de atraso (lag) do tipo
    C(s)=K\frac{s+z}{s+p},\qquad 0<p<z\ll 1,
    cuja ganh a em DC é K\frac{z}{p}. Ajustando \dfrac{z}{p}=8 e escolhendo p,z bem pequenos (próximos a zero) garante aumento de ganho em baixas frequências sem grande impacto na dinâmica dominante do sistema.

Passo 5

Definir os parâmetros do compensador lag para alcançar o fator 8 e justificar escolhas numéricas pequenas (para não alterar o transitório).
  • Queremos K_v=20. Usando C(s)=K\frac{s+z}{s+p}, K_v=\lim_{s\to0} s\,C(s)G(s)=\lim_{s\to0} s\cdot K\frac{s+z}{s+p}\cdot\frac{5}{s(s+2)} =K\cdot\frac{z}{p}\cdot\frac{5}{2}.
  • Impomos K\cdot\frac{z}{p}\cdot\frac{5}{2}=20. Assim K\cdot\frac{z}{p}=8.
  • Para tornar o projeto simples e a interpretação direta, escolho K=1 e imponho \dfrac{z}{p}=8.
  • Agora escolho p e z pequenos em relação à dinâmica da planta (polo em -2 e integrador em 0). Valores típicos aceitáveis para não “contaminar” o trânsito são por exemplo p=10^{-3} e z=8\times10^{-3}. Esses valores são muito menores que 2, então o compensador atua em frequências baixíssimas, elevando o ganho DC sem mexer substancialmente no ganho em torno da frequência natural da planta.
  • Assim proponho o compensador prático C(s)=\frac{s+0{,}008}{s+0{,}001}.

Passo 6

Verificação direta do ganho de velocidade com o compensador escolhido.
  • Calcular K_v com C(s)=\dfrac{s+0{,}008}{s+0{,}001}: K_v=\lim_{s\to0} s\,C(s)G(s) =\lim_{s\to0} s\cdot\frac{s+0{,}008}{s+0{,}001}\cdot\frac{5}{s(s+2)} =\frac{0{,}008}{0{,}001}\cdot\frac{5}{2}=8\cdot\frac{5}{2}=20.
  • Portanto o erro em regime para rampa unitária será \mathrm{ess}=\frac{1}{K_v}=\frac{1}{20},exatamente o especificado.

Passo 7

Comentários finais sobre o efeito no transitório e possíveis ajustes finos.
  • Por que o transitório não foi alterado significativamente?
    • O compensador de atraso foi colocado com pólo e zero em frequência muito baixa ( p=0{,}001,\\ z=0{,}008). Assim, para frequências próximas às dominantes da planta (associadas a s\approx -2 ou às frequências naturais), a razão \dfrac{s+z}{s+p} fica próxima de 1; o ganho em meia/alta frequência praticamente não muda, logo as raízes dominantes do laço fechado e o amortecimento não são muito afetados.
  • Possível efeito prático: o compensador introduz um modo muito lento (associado ao polo em -0{,}001), que pode gerar uma pequena cauda mais lenta na resposta em regime, mas desde que p seja suficientemente pequeno esse efeito costuma ser desprezível nas escalas de tempo usuais da planta. Se for necessário evitar qualquer cauda lenta, pode-se escolher p ainda menor, mantendo z=8p.
  • Se, em ensaio prático, observar-se algum aumento de tempo de acomodação, pode-se ajustar levemente p e z (reduzir p) ou aplicar um pequeno ganho adicional em alto ganho de frequência média com um projeto mais fino (ex.: lag com ganho total K\neq1), mantendo sempre K\cdot\frac{z}{p}=8.

Resposta

C(s)=\frac{s+0{,}008}{s+0{,}001}

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