Dada uma série convergente
, com soma
e reduzida
, prove que seu resto
é a soma da série a partir do índice
. (A diferença
é chamada o resto de ordem
da série).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita convergente
com soma total
e soma parcial até o
-ésimo termo
. A diferença entre essas duas, chamada de resto
, é dada por
. O objetivo aqui é provar que esse resto
é, na verdade, a soma da série a partir do índice
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de séries infinitas e somas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma soma parcial. A soma parcial
de uma série
é a soma dos primeiros
termos da série. Matemáticamente, podemos escrever:
Passo 3
Sabemos que a série é convergente, o que significa que a soma infinita dos seus termos tende a um valor finito, que chamamos de soma total
. Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos expressar o resto
usando a definição dada:
Substituindo
e
nas equações acima, temos:
Passo 5
Ao subtrair
de
, os termos
até
se cancelam, restando:
Resposta
Portanto, o resto de ordem
,
, é igual à soma da série a partir do índice
: