Dada uma série convergente sum a n, com soma S e reduzida S n, prove que seu resto R n é a soma da série a partir do índice n+1. (A diferença R n=S-S n é chamada o resto de ordem n da série).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita convergente sum an com soma total S e soma parcial até o n-ésimo termo Sn. A diferença entre essas duas, chamada de resto Rn, é dada por Rn = S - Sn. O objetivo aqui é provar que esse resto Rn é, na verdade, a soma da série a partir do índice n+1. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de séries infinitas e somas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma soma parcial. A soma parcial Sn de uma série sum an é a soma dos primeiros n termos da série. Matemáticamente, podemos escrever:
Sn = a1 + a2 + a3 + dots + an

Passo 3

Sabemos que a série é convergente, o que significa que a soma infinita dos seus termos tende a um valor finito, que chamamos de soma total S. Assim, temos:
S = a1 + a2 + a3 + dots + an + an+1 + an+2 + dots

Passo 4

Agora, vamos expressar o resto Rn usando a definição dada:
Rn = S - Sn
Substituindo S e Sn nas equações acima, temos:
Rn = (a1 + a2 + dots + an + an+1 + an+2 + dots) - (a1 + a2 + dots + an)

Passo 5

Ao subtrair Sn de S, os termos a1 até an se cancelam, restando:
Rn = an+1 + an+2 + an+3 + dots

Resposta

Portanto, o resto de ordem n, Rn, é igual à soma da série a partir do índice n+1:
Rn = an+1 + an+2 + an+3 + dots

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