Determine se a sequência é convergente ou divergente, em caso de convergência calcule seu limite. a_j = 3^(j+2) / 5^(j)

Passo 1

Vamos analisar a sequência para determinar se ela é convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de progressões geométricas e limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Podemos reescrever como , ou seja:
Isso mostra que a sequência é uma progressão geométrica com razão .

Passo 3

Sabemos que, para uma progressão geométrica , a sequência converge se o valor absoluto da razão for menor que 1. Neste caso, , que é menor que 1. Portanto, a sequência é convergente.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da sequência. O limite de uma progressão geométrica quando tende ao infinito é dado por:
Como , .

Passo 5

Aplicando isso à nossa sequência:
Portanto, o limite da sequência é 0.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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