Dada a velocidade abaixo e a respectiva tensão viscosa, o fluido é newtoniano?
e
Passo 1
O enunciado dá duas informações:
- componente de velocidade na direção
: ; - componente do tensor de tensão viscosa:
.
A pergunta é: o fluido é newtoniano?
Observação importante: o enunciado não informa a componente de velocidade na direção (isto é,
não foi dada). Não pedir mais informação — a resolução vai considerar esse fato e tratar os dois cenários relevantes (o caso usual em provas em que se toma
, e o caso geral em que
é livre).
Observação importante: o enunciado não informa a componente de velocidade na direção
Passo 2
Lição rápida sobre o que significa “fluido newtoniano” (bem mastigado).
Para um fluido newtoniano (isotrópico, com viscosidade dinâmica constante ), a componente de tensão viscosa
relaciona-se com as velocidades pela fórmula
Para um fluido newtoniano (isotrópico, com viscosidade dinâmica constante
onde:
-
é a componente da velocidade na direção ; -
é a componente da velocidade na direção ; -
é a derivada parcial de em relação a (taxa de variação vertical da velocidade horizontal); -
é a derivada parcial de em relação a (taxa de variação horizontal da velocidade vertical); -
é a viscosidade dinâmica, que para um fluido newtoniano simples é uma constante (não depende de nem de ).
No exame, quando derem
e
, a ideia é comparar
com
. Se a razão
for uma constante
válida para todos os pontos, então é consistente com um fluido newtoniano.
Passo 3
Calcular
a partir de
. Derivando termo a termo, tratando
como constante:
Passo 4
Caso comum em exercícios: assumir que a componente
não existe (ou seja,
). Fazendo isso,
e a taxa de deformação de cisalhamento fica simplesmente
. Para ser newtoniano com viscosidade constante
deveria valer, em todos os pontos,
Mas foi dado
. Igualando:
Essa expressão depende de
, ou seja,
não é constante no domínio. Conclusão do caso
: não existe uma viscosidade constante
que satisfaça a relação em todo o domínio, logo sob a hipótese
o fluido NÃO é newtoniano.
Passo 5
Agora o caso geral (mais cuidadoso): como
não foi informada, podemos verificar se existe alguma função
e alguma constante
tais que a relação newtoniana seja satisfeita. Partindo da fórmula geral,
substituindo
e
, obtemos
Isolando
:
Essa é uma equação para
. Ela pode ser integrada em
(mantendo uma função arbitrária de
como constante de integração):
onde
é uma função arbitrária de
. Para qualquer escolha de constante
essa expressão dá uma
cuja derivada parcial
satisfaz a equação acima. Ou seja: existe sempre uma componente
(adequada) que torna a relação
válida para uma dada constante
.
Um exemplo simples: escolhendo
temos
e então
é compatível com
.
Passo 6
Interpretação final (o que vale na prova):
- Se o problema declara ou se entende que o único componente de velocidade é
(ou seja, ), então a comparação entre e mostra que não há uma viscosidade constante que satisfaça a lei newtoniana — portanto, NÃO é newtoniano. - Se o problema não fixa
, então não se pode afirmar que o fluido não é newtoniano: existe, de fato, uma família de funções e constantes que tornam a relação newtoniana verdadeira (por exemplo e ). Assim, sem conhecer não dá para concluir que o fluido não seja newtoniano.
Resposta
Não necessariamente.
Se (hipótese habitual quando só é dada
) então NÃO é newtoniano.
Se não for dada, existe escolha de
constante e
(por exemplo
e
) que tornam o fluido compatível com o comportamento newtoniano.
Se
Se