Dada a velocidade abaixo e a respectiva tensão viscosa, o fluido é newtoniano?
u(x, y)=x^{2} y-2 y e \tau_{x y}=6 x^{2}

Passo 1

O enunciado dá duas informações:
  • componente de velocidade na direção x: u(x,y)=x^{2}y-2y;
  • componente do tensor de tensão viscosa: \tau_{xy}=6x^{2}.
A pergunta é: o fluido é newtoniano?
Observação importante: o enunciado não informa a componente de velocidade na direção y (isto é, v(x,y) não foi dada). Não pedir mais informação — a resolução vai considerar esse fato e tratar os dois cenários relevantes (o caso usual em provas em que se toma v=0, e o caso geral em que v é livre).

Passo 2

Lição rápida sobre o que significa “fluido newtoniano” (bem mastigado).
Para um fluido newtoniano (isotrópico, com viscosidade dinâmica constante \mu), a componente de tensão viscosa \tau_{xy} relaciona-se com as velocidades pela fórmula
\tau_{xy}=\mu\!\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right),
onde:
  • u(x,y) é a componente da velocidade na direção x;
  • v(x,y) é a componente da velocidade na direção y;
  • \partial u/\partial y é a derivada parcial de u em relação a y (taxa de variação vertical da velocidade horizontal);
  • \partial v/\partial x é a derivada parcial de v em relação a x (taxa de variação horizontal da velocidade vertical);
  • \mu é a viscosidade dinâmica, que para um fluido newtoniano simples é uma constante (não depende de x nem de y).
No exame, quando derem \tau_{xy} e u, a ideia é comparar \tau_{xy} com \mu(\partial u/\partial y+\partial v/\partial x). Se a razão \tau_{xy}/(\partial u/\partial y+\partial v/\partial x) for uma constante \mu válida para todos os pontos, então é consistente com um fluido newtoniano.

Passo 3

Calcular \partial u/\partial y a partir de u(x,y)=x^{2}y-2y. Derivando termo a termo, tratando x como constante:
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}(2y)=x^{2}-2.

Passo 4

Caso comum em exercícios: assumir que a componente v não existe (ou seja, v=0). Fazendo isso, \partial v/\partial x=0 e a taxa de deformação de cisalhamento fica simplesmente \partial u/\partial y=x^{2}-2. Para ser newtoniano com viscosidade constante \mu deveria valer, em todos os pontos,
\tau_{xy}=\mu\,(x^{2}-2).
Mas foi dado \tau_{xy}=6x^{2}. Igualando:
6x^{2}=\mu\,(x^{2}-2)\quad\Rightarrow\quad \mu=\frac{6x^{2}}{x^{2}-2}.
Essa expressão depende de x, ou seja, \mu não é constante no domínio. Conclusão do caso v=0: não existe uma viscosidade constante \mu que satisfaça a relação em todo o domínio, logo sob a hipótese v=0 o fluido NÃO é newtoniano.

Passo 5

Agora o caso geral (mais cuidadoso): como v(x,y) não foi informada, podemos verificar se existe alguma função v e alguma constante \mu tais que a relação newtoniana seja satisfeita. Partindo da fórmula geral,
\tau_{xy}=\mu\!\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right),
substituindo \tau_{xy}=6x^{2} e \partial u/\partial y=x^{2}-2, obtemos
6x^{2}=\mu\!\left(x^{2}-2+\frac{\partial v}{\partial x}\right).
Isolando \partial v/\partial x:
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{6x^{2}}{\mu}-\bigl(x^{2}-2\bigr) = x^{2}\!\left(\frac{6}{\mu}-1\right)+2.
Essa é uma equação para \partial v/\partial x. Ela pode ser integrada em x (mantendo uma função arbitrária de y como constante de integração):
v(x,y)=\frac{1}{3}\!\left(\frac{6}{\mu}-1\right)x^{3}+2x+g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y. Para qualquer escolha de constante \mu essa expressão dá uma v(x,y) cuja derivada parcial \partial v/\partial x satisfaz a equação acima. Ou seja: existe sempre uma componente v (adequada) que torna a relação \tau_{xy}=\mu(\partial u/\partial y+\partial v/\partial x) válida para uma dada constante \mu.
Um exemplo simples: escolhendo \mu=6 temos
\frac{\partial v}{\partial x}=2\quad\Rightarrow\quad v(x,y)=2x+g(y),
e então \tau_{xy}=6x^{2} é compatível com \mu=6.

Passo 6

Interpretação final (o que vale na prova):
  • Se o problema declara ou se entende que o único componente de velocidade é u (ou seja, v=0), então a comparação entre \tau_{xy} e \partial u/\partial y mostra que não há uma viscosidade constante \mu que satisfaça a lei newtoniana — portanto, NÃO é newtoniano.
  • Se o problema não fixa v, então não se pode afirmar que o fluido não é newtoniano: existe, de fato, uma família de funções v(x,y) e constantes \mu que tornam a relação newtoniana verdadeira (por exemplo \mu=6 e v(x,y)=2x+g(y)). Assim, sem conhecer v não dá para concluir que o fluido não seja newtoniano.

Resposta

Não necessariamente.
Se v=0 (hipótese habitual quando só é dada u) então NÃO é newtoniano.
Se v não for dada, existe escolha de \mu constante e v(x,y) (por exemplo \mu=6 e v(x,y)=2x+g(y)) que tornam o fluido compatível com o comportamento newtoniano.

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