Muitas vezes é razoável admitir que um escoamento é incompressível se a variação da massa específica do fluido ao longo do escoamento for menor do que 3%. Admita que ar escoa isotermicamente num tubo. As pressões relativas nas seções de alimentação e descarga do tubo são, respectivamente, iguais a 101,3 \mathrm{kPa} e 96,5 \mathrm{kPa}. Este escoamento pode ser considerado incompressível? Justifique sua resposta. Considere Patm =100 \mathrm{kPa}. Resposta: pode ser considerado incompressível, \Delta \rho=2,44 \%

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá que o escoamento é isotérmico (a temperatura T é constante).
  • Dá as pressões relativas nas seções de alimentação e descarga: \,101{,}3\\ \mathrm{kPa} e \,96{,}5\\ \mathrm{kPa} (esses valores são as pressões relativas fornecidas no enunciado).
  • Dá a pressão atmosférica: \mathrm{P_{atm}}=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Pede verificar se o escoamento pode ser considerado incompressível, usando o critério: considerar incompressível se a variação da massa específica for menor que 3\%.

Passo 2

Entender a relação entre pressão e massa específica para gás ideal em processo isotérmico (aulas rápidas, modo amigável).
  • A equação dos gases ideais pode ser escrita como \,p = \rho R T\,, onde:
    • p é a pressão absoluta do gás,
    • \rho é a massa específica (densidade),
    • R é a constante específica do gás,
    • T é a temperatura absoluta.
  • Se o processo é isotérmico, T é constante. Logo, a relação entre pressão e densidade fica simples: \rho é diretamente proporcional a p. Em fórmulas:
\rho = \frac{p}{R T}\quad\Rightarrow\quad \frac{\rho_2}{\rho_1}=\frac{p_2}{p_1}.
  • Portanto, a variação relativa da massa específica entre seções é igual à variação relativa da pressão absoluta entre essas seções:
\frac{\Delta \rho}{\rho_1}=\frac{\rho_1-\rho_2}{\rho_1}=\frac{p_1-p_2}{p_1}.
Explicando em palavras: em processo isotérmico de gás ideal, reduzir a pressão reduz a densidade na mesma proporção percentual.

Passo 3

Converter as pressões dadas em pressões absolutas (atenção: o enunciado deu pressões relativas).
  • As pressões fornecidas são relativas à atmosfera (foram informadas como pressões relativas). Para obter as pressões absolutas usa-se:
p_{\text{abs}} = p_{\text{rel}} + \mathrm{P_{atm}}.
  • Então:
p_1 = 101{,}3\\ \mathrm{kPa} + 100\\ \mathrm{kPa} = 201{,}3\\ \mathrm{kPa},
p_2 = 96{,}5\\ \mathrm{kPa} + 100\\ \mathrm{kPa} = 196{,}5\\ \mathrm{kPa}.
(Os números acima foram extraídos do enunciado: 101{,}3\\ \mathrm{kPa}, 96{,}5\\ \mathrm{kPa} e \mathrm{P_{atm}}=100\\ \mathrm{kPa}.)

Passo 4

Calcular a variação percentual da massa específica usando a proporcionalidade pressão–densidade.
  • Usando a fórmula do passo 2:
\frac{\Delta \rho}{\rho_1}=\frac{p_1-p_2}{p_1}.
  • Substituindo p_1 e p_2:
\frac{\Delta \rho}{\rho_1}=\frac{201{,}3-196{,}5}{201{,}3}=\frac{4{,}8}{201{,}3}.
  • Calculando numericamente:
\frac{\Delta \rho}{\rho_1} \approx 0{,}023842\quad\Rightarrow\quad \Delta \rho \approx 2{,}38\%.
(Mostrei cada operação para que dê para reproduzir à mão: subtraiu-se as pressões absolutas para obter a diferença 4{,}8\\ \mathrm{kPa}, depois dividiu-se por p_1 e multiplicou-se por 100\% para obter a porcentagem.)

Passo 5

Conclusão com a comparação ao critério de incompressibilidade e fechamento motivador.
  • O critério do enunciado diz: considerar incompressível se a variação da massa específica for menor que 3\%.
  • Aqui encontramos \Delta \rho \approx 2{,}38\% < 3\%. Portanto o escoamento pode ser considerado incompressível.
  • Pequena observação prática (pra te dar segurança na prova): esse método é direto e muito usado — para escoamentos isotérmicos de gás, comparar pressões absolutas é o caminho; se a diferença percentual for pequena (abaixo do limite dado, aqui 3\%), trata-se como incompressível. Força aí — com esse raciocínio tu resolve questões parecidas rapidinho!

Resposta

pode ser considerado incompressível, \Delta \rho \approx 2{,}38\%

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