Muitas vezes é razoável admitir que um escoamento é incompressível se a variação da massa específica do fluido ao longo do escoamento for menor do que 3%. Admita que ar escoa isotermicamente num tubo. As pressões relativas nas seções de alimentação e descarga do tubo são, respectivamente, iguais a
e
. Este escoamento pode ser considerado incompressível? Justifique sua resposta. Considere Patm
. Resposta: pode ser considerado incompressível,
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá que o escoamento é isotérmico (a temperatura
é constante). - Dá as pressões relativas nas seções de alimentação e descarga:
e (esses valores são as pressões relativas fornecidas no enunciado). - Dá a pressão atmosférica:
. - Pede verificar se o escoamento pode ser considerado incompressível, usando o critério: considerar incompressível se a variação da massa específica for menor que
.
Passo 2
Entender a relação entre pressão e massa específica para gás ideal em processo isotérmico (aulas rápidas, modo amigável).
- A equação dos gases ideais pode ser escrita como
, onde: -
é a pressão absoluta do gás, -
é a massa específica (densidade), -
é a constante específica do gás, -
é a temperatura absoluta.
-
- Se o processo é isotérmico,
é constante. Logo, a relação entre pressão e densidade fica simples: é diretamente proporcional a . Em fórmulas:
- Portanto, a variação relativa da massa específica entre seções é igual à variação relativa da pressão absoluta entre essas seções:
Explicando em palavras: em processo isotérmico de gás ideal, reduzir a pressão reduz a densidade na mesma proporção percentual.
Passo 3
Converter as pressões dadas em pressões absolutas (atenção: o enunciado deu pressões relativas).
- As pressões fornecidas são relativas à atmosfera (foram informadas como pressões relativas). Para obter as pressões absolutas usa-se:
- Então:
(Os números acima foram extraídos do enunciado:
,
e
.)
Passo 4
Calcular a variação percentual da massa específica usando a proporcionalidade pressão–densidade.
- Usando a fórmula do passo 2:
- Substituindo
e :
- Calculando numericamente:
(Mostrei cada operação para que dê para reproduzir à mão: subtraiu-se as pressões absolutas para obter a diferença
, depois dividiu-se por
e multiplicou-se por
para obter a porcentagem.)
Passo 5
Conclusão com a comparação ao critério de incompressibilidade e fechamento motivador.
- O critério do enunciado diz: considerar incompressível se a variação da massa específica for menor que
. - Aqui encontramos
. Portanto o escoamento pode ser considerado incompressível. - Pequena observação prática (pra te dar segurança na prova): esse método é direto e muito usado — para escoamentos isotérmicos de gás, comparar pressões absolutas é o caminho; se a diferença percentual for pequena (abaixo do limite dado, aqui
), trata-se como incompressível. Força aí — com esse raciocínio tu resolve questões parecidas rapidinho!
Resposta
pode ser considerado incompressível,