Dada a velocidade abaixo e a respectiva tensão viscosa, o fluido é newtoniano?
u(x, y)=x^{2} y-2 y e \tau_{x y}=3 x u^{2}

Passo 1

O enunciado fornece explicitamente:
  • A componente de velocidade u(x,y)=x^{2}y-2y.
  • A componente de tensão viscosa \tau_{xy}=3x\,u^{2}.
    A pergunta que precisa ser respondida é: o fluido é newtoniano? (ou seja, a relação tensão–deformação é linear do tipo usada para fluidos newtonianos).

Passo 2

Lembrete didático: o que significa “fluido newtoniano” (parte importante da teoria).
  • Para um fluido newtoniano, as componentes de tensão viscosa são lineares nas taxas de deformação (gradientes de velocidade). Em 2D, a componente cisalhante relaciona-se por
\tau_{xy}=\mu\!\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right),
onde:
  • \tau_{xy} é a tensão cisalhante,
  • \mu é a viscosidade dinâmica (em um fluido newtoniano ideal, \mu não depende das taxas de deformação; pode ser constante ou função de posição/temperatura, mas crucialmente a tensão é linear nas derivadas de velocidade),
  • u e v são as componentes da velocidade nas direções x e y.
  • Em palavras simples: para ser newtoniano, \tau_{xy} deve ser proporcional (linear) a combinações dos gradientes \partial u/\partial y e \partial v/\partial x. Se a dependência for não linear (por exemplo quadrática em gradientes ou em velocidades), então o fluido não é newtoniano.

Passo 3

Calcular o gradiente necessário: \partial u/\partial y.
Escrevendo u de forma factorizada:
u(x,y)=y\,(x^{2}-2).
Derivando em relação a y:
\frac{\partial u}{\partial y}=x^{2}-2.
Observação: \dfrac{\partial u}{\partial y} depende só de x, e é independente de y.

Passo 4

Escrever a tensão fornecida em termos explícitos de x e y, usando u.
Temos \tau_{xy}=3x\,u^{2}. Substituindo u=y(x^{2}-2):
\tau_{xy}=3x\bigl(y(x^{2}-2)\bigr)^{2}=3x\,y^{2}(x^{2}-2)^{2}.

Passo 5

Expressar \tau_{xy} em função de \partial u/\partial y.
Como \dfrac{\partial u}{\partial y}=x^{2}-2, substitui-se na expressão de \tau_{xy}:
\tau_{xy}=3x\,y^{2}\bigl(\tfrac{\partial u}{\partial y}\bigr)^{2}.
Ou seja, \tau_{xy} é proporcional ao quadrado de \partial u/\partial y, não à própria \partial u/\partial y.

Passo 6

Interpretação e conclusão lógica (por que isso implica que o fluido não é newtoniano).
  • A constituição de um fluido newtoniano exige linearidade: \tau_{xy} deve ser da forma \mu(\cdot)\times(\partial u/\partial y+\partial v/\partial x), ou seja, dependência de primeira ordem nos gradientes de velocidade.
  • Aqui \tau_{xy} depende de \bigl(\partial u/\partial y\bigr)^{2} (quadrático) e também tem fator y^{2} e x. Mesmo que se assumisse \partial v/\partial x=0 (por exemplo v=0), obtém-se
\tau_{xy}=3x\,y^{2}\bigl(\partial u/\partial y\bigr)^{2},
o que NÃO pode ser escrito como \mu(x,y)\,\partial u/\partial y com \mu independente de \partial u/\partial y (a única forma seria tomar \mu=3x\,y^{2}\,\partial u/\partial y, mas aí \mu depende da taxa de deformação e a relação deixa de ser linear). Logo a relação tensão–taxa de deformação não é linear.
  • Portanto a dependência quadrática mostra claramente comportamento não linear entre tensão e gradiente de velocidade — característica de fluidos não newtonianos.

Resposta

Não. O fluido não é newtoniano.

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