Dada a velocidade abaixo e a respectiva tensão viscosa, o fluido é newtoniano?
e
Passo 1
O enunciado fornece explicitamente:
- A componente de velocidade
. - A componente de tensão viscosa
.
A pergunta que precisa ser respondida é: o fluido é newtoniano? (ou seja, a relação tensão–deformação é linear do tipo usada para fluidos newtonianos).
Passo 2
Lembrete didático: o que significa “fluido newtoniano” (parte importante da teoria).
- Para um fluido newtoniano, as componentes de tensão viscosa são lineares nas taxas de deformação (gradientes de velocidade). Em 2D, a componente cisalhante relaciona-se por
onde:
-
é a tensão cisalhante, -
é a viscosidade dinâmica (em um fluido newtoniano ideal, não depende das taxas de deformação; pode ser constante ou função de posição/temperatura, mas crucialmente a tensão é linear nas derivadas de velocidade), -
e são as componentes da velocidade nas direções e . - Em palavras simples: para ser newtoniano,
deve ser proporcional (linear) a combinações dos gradientes e . Se a dependência for não linear (por exemplo quadrática em gradientes ou em velocidades), então o fluido não é newtoniano.
Passo 3
Calcular o gradiente necessário:
.
Escrevendo de forma factorizada:
Escrevendo
Derivando em relação a
:
Observação:
depende só de
, e é independente de
.
Passo 4
Escrever a tensão fornecida em termos explícitos de
e
, usando
.
Temos . Substituindo
:
Temos
Passo 5
Expressar
em função de
.
Como , substitui-se na expressão de
:
Como
Ou seja,
é proporcional ao quadrado de
, não à própria
.
Passo 6
Interpretação e conclusão lógica (por que isso implica que o fluido não é newtoniano).
- A constituição de um fluido newtoniano exige linearidade:
deve ser da forma , ou seja, dependência de primeira ordem nos gradientes de velocidade. - Aqui
depende de (quadrático) e também tem fator e . Mesmo que se assumisse (por exemplo ), obtém-se
o que NÃO pode ser escrito como
com
independente de
(a única forma seria tomar
, mas aí
depende da taxa de deformação e a relação deixa de ser linear). Logo a relação tensão–taxa de deformação não é linear.
- Portanto a dependência quadrática mostra claramente comportamento não linear entre tensão e gradiente de velocidade — característica de fluidos não newtonianos.
Resposta
Não. O fluido não é newtoniano.