Dada a velocidade abaixo e a respectiva tensão viscosa, o fluido é newtoniano?
u(x, y)=x^{2} y-2 y e \tau_{x y}=2 x^{2}-4

Passo 1

O enunciado dá:
  • A velocidade de um escoamento bidimensional: u(x,y)=x^{2}y-2y.
  • A componente da tensão viscosa: \tau_{xy}=2x^{2}-4.
O que é pedido:
  • Determinar se o fluido é newtoniano (isto é, se a relação entre tensão viscosa e taxa de deformação é linear com um coeficiente viscoso constante).

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (aulas rápidas, sem mistério):
  • Para um fluido newtoniano (com viscosidade dinâmica constante \mu) a componente de cisalhamento do tensor de tensões relaciona-se com as derivadas das velocidades pela fórmula
\tau_{xy}=\mu\bigl(\partial_x v+\partial_y u\bigr),
onde:
  • \tau_{xy} é a tensão viscosa de cisalhamento.
  • u(x,y) é a componente de velocidade na direção x.
  • v(x,y) é a componente de velocidade na direção y.
  • \partial_y u significa \dfrac{\partial u}{\partial y} e \partial_x v significa \dfrac{\partial v}{\partial x}.
  • Explicação do porquê: para escoamentos newtonianos a tensão é linear nas taxas de deformação; a combinação \partial_y u+\partial_x v é a parte simétrica correspondente ao cisalhamento no plano xy. O fator \mu é a viscosidade dinâmica (constante espacialmente se o fluido for newtoniano e homogêneo).

Passo 3

Calcular a derivada \partial_y u a partir da velocidade dada:
  • Como u(x,y)=x^{2}y-2y, derivando em relação a y temos
\partial_y u = x^{2}-2.
Mostrei passo a passo: \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2} e \dfrac{\partial}{\partial y}(-2y)=-2.

Passo 4

Expressar \tau_{xy} em função de \partial_y u:
  • A tensão dada é \tau_{xy}=2x^{2}-4. Fatorando,
\tau_{xy}=2(x^{2}-2).
  • Mas vimos que \partial_y u = x^{2}-2. Portanto
\tau_{xy}=2\,\partial_y u.

Passo 5

Comparar com a lei newtoniana e concluir o valor de \mu:
  • A lei newtoniana diz \tau_{xy}=\mu\bigl(\partial_y u+\partial_x v\bigr).
  • A igualdade obtida no passo anterior é \tau_{xy}=2\,\partial_y u.
  • Se existir um campo de velocidade v(x,y) tal que \partial_x v=0 em toda a região considerada (ou seja, v independe de x), então a soma \partial_y u+\partial_x v reduz-se a \partial_y u e obtemos
\tau_{xy}=\mu\,\partial_y u.
Comparando com \tau_{xy}=2\,\partial_y u segue \mu=2 (constante).

Passo 6

Discussão sobre hipóteses e consistência (o detalhe que costuma confundir):
  • A igualdade \tau_{xy}=2\,\partial_y u mostra que a dependência espacial da tensão é proporcional à taxa de deformação \partial_y u com coeficiente constante 2. Isso é exatamente o comportamento linear esperado de um fluido newtoniano com \mu=2, desde que a outra contribuição \partial_x v seja nula.
  • Se houver informação extra exigindo incompressibilidade ( \partial_x u+\partial_y v=0), aí surge uma restrição adicional sobre v que pode tornar impossível ter \partial_x v=0 em toda a região (no caso presente, \partial_x u=2xy, então \partial_y v teria de igualar -2xy, o que impede \partial_x v ser apenas zero para todas as x,y). Ou seja: sob hipótese de incompressibilidade global, pode não existir um v que satisfaça simultaneamente todas as condições e \mu constante.
  • Resumindo de forma prática para uma prova: com os dados fornecidos (apenas u e \tau_{xy}), a relação entre \tau_{xy} e \partial_y u é linear com coeficiente constante 2. Portanto os dados são compatíveis com um fluido newtoniano de viscosidade dinâmica \mu=2. Se o enunciado também exigisse incompressibilidade ou desse v, teria que checar consistência adicional.

Resposta

Sim. \mu=2

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