Dada a velocidade abaixo e a respectiva tensão viscosa, o fluido é newtoniano?
e
Passo 1
O enunciado dá:
- A velocidade de um escoamento bidimensional:
. - A componente da tensão viscosa:
.
O que é pedido:
- Determinar se o fluido é newtoniano (isto é, se a relação entre tensão viscosa e taxa de deformação é linear com um coeficiente viscoso constante).
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (aulas rápidas, sem mistério):
- Para um fluido newtoniano (com viscosidade dinâmica constante
) a componente de cisalhamento do tensor de tensões relaciona-se com as derivadas das velocidades pela fórmula
onde:
-
é a tensão viscosa de cisalhamento. -
é a componente de velocidade na direção . -
é a componente de velocidade na direção . -
significa e significa . - Explicação do porquê: para escoamentos newtonianos a tensão é linear nas taxas de deformação; a combinação
é a parte simétrica correspondente ao cisalhamento no plano . O fator é a viscosidade dinâmica (constante espacialmente se o fluido for newtoniano e homogêneo).
Passo 3
Calcular a derivada
a partir da velocidade dada:
- Como
, derivando em relação a temos
Mostrei passo a passo:
e
.
Passo 4
Expressar
em função de
:
- A tensão dada é
. Fatorando,
- Mas vimos que
. Portanto
Passo 5
Comparar com a lei newtoniana e concluir o valor de
:
- A lei newtoniana diz
. - A igualdade obtida no passo anterior é
. - Se existir um campo de velocidade
tal que em toda a região considerada (ou seja, independe de ), então a soma reduz-se a e obtemos
Comparando com
segue
(constante).
Passo 6
Discussão sobre hipóteses e consistência (o detalhe que costuma confundir):
- A igualdade
mostra que a dependência espacial da tensão é proporcional à taxa de deformação com coeficiente constante . Isso é exatamente o comportamento linear esperado de um fluido newtoniano com , desde que a outra contribuição seja nula. - Se houver informação extra exigindo incompressibilidade (
), aí surge uma restrição adicional sobre que pode tornar impossível ter em toda a região (no caso presente, , então teria de igualar , o que impede ser apenas zero para todas as ). Ou seja: sob hipótese de incompressibilidade global, pode não existir um que satisfaça simultaneamente todas as condições e constante. - Resumindo de forma prática para uma prova: com os dados fornecidos (apenas
e ), a relação entre e é linear com coeficiente constante . Portanto os dados são compatíveis com um fluido newtoniano de viscosidade dinâmica . Se o enunciado também exigisse incompressibilidade ou desse , teria que checar consistência adicional.
Resposta
Sim.