Dadas as análises de peneiração da alimentação e das frações obtidas em peneiras de 14 e 28 malhas, determinar a eficiência dessas peneiras. Determine a relação entre os fluxos de produto e rejeitos e o fluxo de alimentação.
Peneira (malha) Alimentação Fração Superior Fração Intermediária Fração Inferior
-4+6 0,02797 0,12903
-6+8 0,05594 0,25806
-8+10 0,12587 0,48387 0,03529
-10+14 0,29371 0,09677 0,45882
-14+20 0,25175 0,03226 0,38824 0,07407
-20+28 0,17483 0,10588 0,59259
-28+35 0,04895 0,01176 0,22222
-35+48 0,01399 0,07407
-48+65 0,00699 0,03704

Passo 1

O enunciado pede:
  • Determinar a eficiência das peneiras de malha 14 e de malha 28.
  • Determinar a relação entre os fluxos de produto e rejeitos e o fluxo de alimentação (ou seja, quanto da alimentação vira produto e quanto vira rejeito para cada peneira).
Informações fornecidas (valores apenas, todos são frações da amostra total, extraídos da tabela do enunciado):
  • Distribuição granulométrica da alimentação (cada linha é a fração da alimentação na classe de malha indicada): \begin{array}{l} F_{1} = 0,02797,\; F_{2} = 0,05594,\; F_{3} = 0,12587,\\\ F_{4} = 0,29371,\; F_{5} = 0,25175,\; F_{6} = 0,17483,\\\ F_{7} = 0,04895,\; F_{8} = 0,01399,\; F_{9} = 0,00699. \end{array}(estas somam 1,00, ou seja 100\% da alimentação).
  • Para cada fluxo de saída (Fração Superior, Fração Intermediária, Fração Inferior) é dada a composição granulométrica relativa desse fluxo; as colunas somam 1,00 cada:
    • Fração Superior: s_1=0,12903,\; s_2=0,25806,\; s_3=0,48387,\; s_4=0,09677,\; s_5=0,03226 (as demais =0).
    • Fração Intermediária: i_3=0,03529,\; i_4=0,45882,\; i_5=0,38824,\; i_6=0,10588,\; i_7=0,01176 (as demais =0).
    • Fração Inferior: r_5=0,07407,\; r_6=0,59259,\; r_7=0,22222,\; r_8=0,07407,\; r_9=0,03704 (as demais =0).
Observações que vou usar depois (não resolvo ainda aqui): os três fluxos são
  • Superior: material retido na peneira de malha 14 (rejeito da peneira 14),
  • Intermediária: material retido na peneira de malha 28 (rejeito da peneira 28), e
  • Inferior: material que passou pela peneira 28 (produto fino).

Passo 2

Definir incógnitas e equações de balanço de massa.
  • Tomar a massa total da amostra normalizada como 1.
  • Denotar por S a fração (do total) que aparece no fluxo Superior, por I a fração no fluxo Intermediário e por R a fração no fluxo Inferior. Logo: S+I+R=1.
  • Para cada classe granulométrica j vale o balanço: F_j = S\cdot s_j + I\cdot i_j + R\cdot r_j,onde, se um dos s_j,i_j,r_j for ausente na tabela, toma-se 0.
Vou usar linhas da tabela onde só aparece um único fluxo para obter diretamente S e R, o que simplifica muito o sistema.

Passo 3

Determinar S usando uma linha onde somente a Fração Superior tem essa classe (ou seja, i_j=r_j=0).
  • Na classe -4+6 (linha 1) temos F_1 = 0,02797 e s_1=0,12903, i_1=r_1=0.
  • Pelo balanço: F_1 = S\cdot s_1 \quad\Rightarrow\quad S=\dfrac{F_1}{s_1}=\dfrac{0,02797}{0,12903}.
  • Calculando: S \approx 0,21677.
(Verificação rápida: a linha -6+8 S=0,05594/0,25806\approx0,21677, consistente.)

Passo 4

Determinar R usando uma linha onde somente a Fração Inferior tem essa classe.
  • Na classe -48+65 (linha 9) temos F_9=0,00699 e r_9=0,03704, s_9=i_9=0.
  • Pelo balanço: F_9 = R\cdot r_9 \quad\Rightarrow\quad R=\dfrac{F_9}{r_9}=\dfrac{0,00699}{0,03704}.
  • Calculando: R \approx 0,18878.

Passo 5

Determinar I pelo balanço total:
I = 1 - S - R \approx 1 - 0,21677 - 0,18878 = 0,59445.
Agora temos os fluxos absolutos (fração da alimentação) de cada produto:
S\approx0,21677,\quad I\approx0,59445,\quad R\approx0,18878.

Passo 6

Definir eficiência de separação que vou usar (duas definições úteis, ambas muita usadas em peneiramento):
  • Para uma peneira com ponto de corte d, chamamos de “oversize” (rejeito esperado) as classes maiores que o corte e de “undersize” (produto) as classes menores.
  • Eficiência de retenção do oversize (para a peneira) \eta_\text{oversize}: \eta_\text{oversize}=\dfrac{\text{massa de oversize que ficou no rejeito}}{\text{massa total de oversize na alimentação}}.çã
  • Eficiência de passagem do undersize \eta_\text{undersize}: \eta_\text{undersize}=\dfrac{\text{massa de undersize que passou para o produto}}{\text{massa total de undersize na alimentação}}.çã
Vou calcular ambas para cada peneira (malha 14 e malha 28) — isso ensina como avaliar se a peneira está retendo bem o grosso e deixando passar bem o fino.

Passo 7

Determinar quais classes são oversize e undersize para cada peneira.
  • Peneira 14: oversize = classes coarser que a malha 14 = linhas 1 a 4 (i.e. -4+6 a -10+14). Assim O_{14,\text{feed}}=\sum_{j=1}^{4}F_j=0,02797+0,05594+0,12587+0,29371=0,50349.Undersize relativo a 14: U_{14,\text{feed}}=1-0,50349=0,49651.
  • Peneira 28: oversize = classes coarser que a malha 28 = linhas 1 a 6 (i.e. até -20+28). Assim O_{28,\text{feed}}=\sum_{j=1}^{6}F_j=0,93007.Undersize relativo a 28: U_{28,\text{feed}}=1-0,93007=0,06993.

Passo 8

Calcular a eficiência da peneira 14.
  • Massa de oversize que foi corretamente retida na fração Superior:
    • A fração da composição da Superior correspondente ao oversize (linhas 1 a 4) é \sum_{j=1}^{4} s_j = 0,12903+0,25806+0,48387+0,09677 = 0,96773.
    • Logo a massa (fração da alimentação total) de oversize retida em Superior é O_{14,\text{retido}} = S\cdot 0,96773 \approx 0,21677\cdot 0,96773 \approx 0,20980.
  • Eficiência de retenção do oversize da peneira 14: \eta_{14,\text{oversize}}=\dfrac{O_{14,\text{retido}}}{O_{14,\text{feed}}}=\dfrac{0,20980}{0,50349}\approx 0,4167\quad(\text{i.e. }41{,}67\%).
  • Massa de undersize que passou (corretamente) para os fluxos Intermediário+Inferior:
    • Undersize retida indevidamente em Superior é S vezes a fração de Superior que é undersize: S\cdot(1-0,96773)=S\cdot0,03227\approx0,00699.
    • Portanto undersize que passou é U_{14,\text{passou}} = U_{14,\text{feed}} - 0,00699 = 0,49651 - 0,00699 \approx 0,48952.
  • Eficiência de passagem do undersize da peneira 14: \eta_{14,\text{undersize}}=\dfrac{U_{14,\text{passou}}}{U_{14,\text{feed}}}=\dfrac{0,48952}{0,49651}\approx 0,986\quad(\text{i.e. }98{,}6\%).
Interpretação rápida: a peneira 14 deixa passar quase todo o material fino (alta \eta_\text{undersize}), mas retém pouco do oversize (baixa \eta_\text{oversize}); isso indica que muita fração grossa não ficou no rejeito da 14 — ou seja, parte do oversize está seguindo para baixo (pode ser transporte por efeito de sobrecarga, vibração, etc.).

Passo 9

Calcular a eficiência da peneira 28.
  • A fração da Intermediária que corresponde ao oversize relativo a 28 (linhas 3 a 6) é \sum_{j=3}^{6} i_j = 0,03529+0,45882+0,38824+0,10588 = 0,98823.
  • Massa de oversize que ficou retida na Intermediária: O_{28,\text{retido}} = I\cdot 0,98823 \approx 0,59445\cdot 0,98823 \approx 0,58737.
  • Eficiência de retenção do oversize da peneira 28: \eta_{28,\text{oversize}}=\dfrac{O_{28,\text{retido}}}{O_{28,\text{feed}}}=\dfrac{0,58737}{0,93007}\approx 0,6316\quad(\text{i.e. }63{,}16\%).
  • Undersize relativo a 28 (linhas 7 a 9) sofreu retenção indevida na Intermediária na fração i_7=0,01176. Massa de undersize retida indevidamente: I\cdot i_7 \approx 0,59445\cdot 0,01176 \approx 0,00699.
  • Portanto undersize que efetivamente passou para a Inferior: U_{28,\text{passou}} = U_{28,\text{feed}} - 0,00699 = 0,06993 - 0,00699 \approx 0,06294.
  • Eficiência de passagem do undersize da peneira 28: \eta_{28,\text{undersize}}=\dfrac{U_{28,\text{passou}}}{U_{28,\text{feed}}}=\dfrac{0,06294}{0,06993}\approx 0,9000\quad(\text{i.e. }90{,}00\%).
Interpretação rápida: a peneira 28 retém uma parcela considerável do oversize (cerca de 63\%), mas ainda deixa passar uma fração (cerca de 37\% do oversize), e permite passar 90\% do undersize.

Passo 10

Determinar a relação entre fluxos (produto vs rejeito) e alimentação, para cada peneira.
  • Para a peneira 14:
    • Rejeito (retido na 14) = fluxo Superior S \approx 0,21677 da alimentação (i.e. 21{,}68\% da alimentação).
    • Produto (passou pela 14) = fluxos Intermediário+Inferior I+R \approx 0,59445+0,18878=0,78323 da alimentação (i.e. 78{,}32\% da alimentação).
  • Para a peneira 28 (considerando apenas o material que chega a ela — mas como fração da alimentação total):
    • Rejeito da 28 (retido na 28) = fluxo Intermediário I \approx 0,59445 da alimentação (i.e. 59{,}45\% da alimentação).
    • Produto da 28 (passou pela 28) = fluxo Inferior R \approx 0,18878 da alimentação (i.e. 18{,}88\% da alimentação).

Resposta

Peneira 14: \eta_{\text{oversize}} \approx 41{,}67\%
Peneira 14: \eta_{\text{undersize}} \approx 98{,}6\%
Peneira 28: \eta_{\text{oversize}} \approx 63{,}16\%
Peneira 28: \eta_{\text{undersize}} \approx 90{,}00\%
Fluxos (fração da alimentação total):
Rejeito na 14 (Superior) S \approx 0,21677 ( 21{,}68\%), Produto após 14 (Intermediário+Inferior) \approx 0,78323 ( 78{,}32\%).
Rejeito na 28 (Intermediário) I \approx 0,59445 ( 59{,}45\%), Produto da 28 (Inferior) R \approx 0,18878 ( 18{,}88\%).

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