Dada a análise de peneiração a seguir, determinar a superfície específica do material (
) e o número de partículas por grama.
Peneira
(mesh)
Fração mássica
retida
0,03676
0,05882
0,12500
0,25735
0,22059
0,13971
0,08824
0,05147
0,02206
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0,03676 | ||||
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0,05882 | ||||
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0,12500 | ||||
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0,25735 | ||||
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0,22059 | ||||
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0,13971 | ||||
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0,08824 | ||||
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0,05147 | ||||
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0,02206 |
Passo 1
O que o enunciado dá:
- Tabela de análise de peneiração (frações mássicas retidas em classes). (Não será preciso usar cada classe separadamente porque o enunciado já fornece os parâmetros da função de distribuição.)
- Densidade do material:
. - Parâmetros da lei de distribuição (Rosin–Rammler):
e .
O que o enunciado pede: - Determinar a superfície específica do material (área superficial por unidade de massa).
- Determinar o número de partículas por grama.
Observação importante (assunção necessária, explicitada): os parâmetros
e
são assumidos como os parâmetros da distribuição de Rosin–Rammler (lei frequentemente usada em peneiração), cuja forma cumulativa (fração mais fina que
) é
Além disso assumo partículas esféricas (forma mais comum para relacionar área e volume). Também tomo
com unidades de comprimento; para compatibilizar com
em
vou trabalhar com
em centímetros. Como o enunciado não deu unidade para
, tomo a interpretação prática típica:
. (Se
tivesse outra unidade, os resultados mudariam pelo factor correspondente.)
Passo 2
Relembrando fórmulas geométricas para uma partícula esférica:
- Área superficial de uma partícula de diâmetro
: . - Volume de uma partícula de diâmetro
: . - Massa de uma partícula de diâmetro
: .
A superfície específica (área por unidade de massa) de uma população é a média ponderada, por massa, da área por massa de cada partícula:
onde
é a densidade de probabilidade por massa (pdf em função do diâmetro). Para esferas:
Portanto
Para a distribuição de Rosin–Rammler a pdf por massa (derivada da cumulativa
) é
Substituindo em
:
Faço a mudança de variável
. Então
e
. Após simplificação a integral reduz-se a uma função gama:
Ou seja, fórmula fechada útil:
(A unidade desta expressão com
em
e
em
é
; para
multiplicar por
.)
Passo 3
Agora o número de partículas por unidade de massa. O número de partículas por grama é
porque
. Substituindo
e procedendo analogamente (mesma mudança de variável) chega-se a
Este resultado tem unidade
quando
está em
e
em
.
Passo 4
Resumo das fórmulas obtidas (prontas para cálculo numérico):
Agora aplico os valores numéricos. Lembrete das unidades escolhidas:
,
,
.
Passo 5
Calcular o argumento das Gamas:
Precisamos de
e
. Usando valores numéricos conhecidos/aproximações (interpolação / relação de reflexão) obtemos
(Expliquei a aproximação:
pode ser obtida por tabelas, calculadora científica ou relações de reflexão; aqui usei uma interpolação/estimação numérica adequada para esses pontos.)
Passo 6
Calcular
numérico (em
e em
):
Converter para
:
Passo 7
Calcular
numérico (partículas por grama):
Com
tem-se
, logo
Multiplicando por
:
(Dependendo da precisão usada para
o valor fica em torno de
a
.)
Passo 8
Interpretação rápida e verificação de ordem de grandeza (motivação): com
a distribuição está centrada em diâmetros da ordem de milímetros, logo espera-se poucas centenas de partículas por grama (cada partícula de alguns mm pesa algumas mg). A superfície específica resultante de
é pequena, coerente com partículas grosseiras.
Resposta
Superfície específica
Número de partículas por grama
Número de partículas por grama