Dada a análise de peneiração a seguir, determinar a superfície específica do material ( \rho=2,4 \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}, \mathrm{a}=2 \mathrm{e} \mathrm{b}=3,5 ) e o número de partículas por grama.
Peneira
(mesh)
Fração mássica
retida
3,5 / 5 0,03676
5 / 7 0,05882
7 / 9 0,12500
9 / 12 0,25735
12 / 16 0,22059
16 / 24 0,13971
24 / 32 0,08824
32 / 42 0,05147
42 / 60 0,02206

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • Tabela de análise de peneiração (frações mássicas retidas em classes). (Não será preciso usar cada classe separadamente porque o enunciado já fornece os parâmetros da função de distribuição.)
  • Densidade do material: \rho=2{,}4\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Parâmetros da lei de distribuição (Rosin–Rammler): a=2 e b=3{,}5.
    O que o enunciado pede:
  • Determinar a superfície específica do material (área superficial por unidade de massa).
  • Determinar o número de partículas por grama.
Observação importante (assunção necessária, explicitada): os parâmetros a e b são assumidos como os parâmetros da distribuição de Rosin–Rammler (lei frequentemente usada em peneiração), cuja forma cumulativa (fração mais fina que d) é
R(d)=1-\exp\!\bigl[-(d/a)^{b}\bigr].
Além disso assumo partículas esféricas (forma mais comum para relacionar área e volume). Também tomo a com unidades de comprimento; para compatibilizar com \rho em \mathrm{g/cm^{3}} vou trabalhar com a em centímetros. Como o enunciado não deu unidade para a, tomo a interpretação prática típica: a=2\\ \mathrm{mm}=0{,}2\\ \mathrm{cm}. (Se a tivesse outra unidade, os resultados mudariam pelo factor correspondente.)

Passo 2

Relembrando fórmulas geométricas para uma partícula esférica:
  • Área superficial de uma partícula de diâmetro d: A_p=\pi d^{2}.
  • Volume de uma partícula de diâmetro d: V_p=\dfrac{\pi d^{3}}{6}.
  • Massa de uma partícula de diâmetro d: m_p=\rho V_p=\rho\;\dfrac{\pi d^{3}}{6}.
A superfície específica (área por unidade de massa) de uma população é a média ponderada, por massa, da área por massa de cada partícula:
S=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{A_p}{m_p}\right)\,p_{m}(d)\,dd,
onde p_{m}(d) é a densidade de probabilidade por massa (pdf em função do diâmetro). Para esferas:
\frac{A_p}{m_p}=\frac{\pi d^{2}}{\rho\;\dfrac{\pi d^{3}}{6}}=\frac{6}{\rho d}.
Portanto
S=\int_{0}^{\infty}\frac{6}{\rho d}\;p_{m}(d)\,dd.
Para a distribuição de Rosin–Rammler a pdf por massa (derivada da cumulativa R(d)) é
p_{m}(d)=\frac{dR}{dd}=\frac{b}{a}\left(\frac{d}{a}\right)^{\,b-1}\exp\!\bigl[-(d/a)^{b}\bigr].
Substituindo em S:
S=\frac{6}{\rho}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{d}\cdot\frac{b}{a}\left(\frac{d}{a}\right)^{b-1}e^{-(d/a)^{b}}\,dd =\frac{6b}{\rho a^{b}}\int_{0}^{\infty}d^{\,b-2}e^{-(d/a)^{b}}\,dd.
Faço a mudança de variável y=(d/a)^{b}. Então d=a\,y^{1/b} e dd=a\frac{1}{b}y^{1/b-1}dy. Após simplificação a integral reduz-se a uma função gama:
S=\frac{6}{\rho a}\int_{0}^{\infty}y^{-1/b}e^{-y}\,dy =\frac{6}{\rho a}\Gamma\!\left(1-\frac{1}{b}\right).
Ou seja, fórmula fechada útil:
\boxed{\,S=\frac{6}{\rho\,a}\,\Gamma\!\left(1-\frac{1}{b}\right)\,}
(A unidade desta expressão com a em \mathrm{cm} e \rho em \mathrm{g/cm^{3}} é \mathrm{cm^{2}/g}; para \mathrm{m^{2}/g} multiplicar por 10^{-4}.)

Passo 3

Agora o número de partículas por unidade de massa. O número de partículas por grama é
N=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{m_p(d)}\,p_{m}(d)\,dd =\int_{0}^{\infty}\frac{6}{\rho\pi}\,d^{-3}\,p_{m}(d)\,dd,
porque m_p=\rho\pi d^{3}/6. Substituindo p_{m}(d) e procedendo analogamente (mesma mudança de variável) chega-se a
N=\frac{6}{\rho\pi}\,a^{-3}\,\Gamma\!\left(1-\frac{3}{b}\right).
Este resultado tem unidade \mathrm{(partículas/g)}í quando a está em \mathrm{cm} e \rho em \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 4

Resumo das fórmulas obtidas (prontas para cálculo numérico):
\displaystyle S=\frac{6}{\rho\,a}\,\Gamma\!\left(1-\frac{1}{b}\right), \qquad \displaystyle N=\frac{6}{\rho\pi\,a^{3}}\,\Gamma\!\left(1-\frac{3}{b}\right).
Agora aplico os valores numéricos. Lembrete das unidades escolhidas: a=2\\ \mathrm{mm}=0{,}2\\ \mathrm{cm}, b=3{,}5, \rho=2{,}4\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 5

Calcular o argumento das Gamas:
1-\frac{1}{b}=1-\frac{1}{3{,}5}=1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}\approx0{,}7142857,
1-\frac{3}{b}=1-\frac{3}{3{,}5}=1-\frac{6}{7}=\frac{1}{7}\approx0{,}1428571.
Precisamos de \Gamma(5/7) e \Gamma(1/7). Usando valores numéricos conhecidos/aproximações (interpolação / relação de reflexão) obtemos
\Gamma\!\left(\frac{5}{7}\right)\approx 1{,}2805,\qquad \Gamma\!\left(\frac{1}{7}\right)\approx 6{,}52\\ (\text{aprox.}).
(Expliquei a aproximação: \Gamma(z) pode ser obtida por tabelas, calculadora científica ou relações de reflexão; aqui usei uma interpolação/estimação numérica adequada para esses pontos.)

Passo 6

Calcular S numérico (em \mathrm{cm^{2}/g} e em \mathrm{m^{2}/g}):
S=\frac{6}{\rho\,a}\,\Gamma\!\left(1-\frac{1}{b}\right) =\frac{6}{2{,}4\cdot 0{,}2}\cdot 1{,}2805 =\frac{6}{0{,}48}\cdot 1{,}2805 =12{,}5\cdot 1{,}2805\approx 16{,}006\\ \mathrm{cm^{2}/g}.
Converter para \mathrm{m^{2}/g}:
S\approx 16{,}006\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/g}=1{,}6006\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}/g}.

Passo 7

Calcular N numérico (partículas por grama):
N=\frac{6}{\rho\pi a^{3}}\,\Gamma\!\left(1-\frac{3}{b}\right).
Com a=0{,}2\\ \mathrm{cm} tem-se a^{3}=0{,}008\\ \mathrm{cm^{3}}, logo
\frac{6}{\rho\pi a^{3}}=\frac{6}{2{,}4\cdot\pi\cdot 0{,}008} =\frac{6}{0{,}060318}\approx 99{,}472.
Multiplicando por \Gamma(1/7)\approx 6{,}52:
N\approx 99{,}472\cdot 6{,}52 \approx 649{,}0\\ \text{partículas/g}.í
(Dependendo da precisão usada para \Gamma(1/7) o valor fica em torno de 6,3\times10^{2} a 6,6\times10^{2}.)

Passo 8

Interpretação rápida e verificação de ordem de grandeza (motivação): com a=2\\ \mathrm{mm} a distribuição está centrada em diâmetros da ordem de milímetros, logo espera-se poucas centenas de partículas por grama (cada partícula de alguns mm pesa algumas mg). A superfície específica resultante de \sim 1{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}/g} é pequena, coerente com partículas grosseiras.

Resposta

Superfície específica S \approx 1{,}60\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}/g}
Número de partículas por grama N \approx 6{,}49\times 10^{2}\\ \text{partículas/g}í

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