Dadas f(x)=(x+1) / x e g(x)=x /(x+1), determine:
(e) f(g(-1))

Passo 1

O enunciado dá as duas funções e pede f(g(-1)). Anotando o que foi dado:
  • f(x)=\dfrac{x+1}{x}.
  • g(x)=\dfrac{x}{x+1}.
    A pergunta específica é: calcular f(g(-1)).

Passo 2

O que significa f(g(-1))? É uma composição de funções: primeiro avalia-se g em -1 (isto é, calcula-se g(-1)) e depois aplica-se f ao resultado obtido. Importante regra de domínio: para f(g(-1)) estar definido é necessário que
  1. g(-1) exista (ou seja, -1 esteja no domínio de g); e
  2. o valor g(-1) esteja no domínio de f.
    Se a etapa 1 falhar (isto é, g(-1) não existir), a composição inteira não existe.

Passo 3

Vamos avaliar g(-1). Substituindo x=-1 em g(x):
g(-1)=\frac{-1}{-1+1}=\frac{-1}{0}.
Divisão por 0 não é definida em aritmética — não existe um número real que multiplicado por 0 -1. Portanto g(-1) é indefinido; em outras palavras, -1 não pertence ao domínio de g porque o denominador x+1 se anula em x=-1.

Passo 4

Como g(-1) não existe, não há nenhum valor para ser passado a f. Logo a composição f(g(-1)) também não existe (está indefinida). Reforçando: basta a inexistência do valor interno para anular a composição.
(Fica como exemplo prático: se o ponto interno fosse diferente, o procedimento seria primeiro achar g(a) e então calcular f(g(a)). Ex.: para a=1 tem-se g(1)=\dfrac{1}{2} e então f\big(g(1)\big)=f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\tfrac{1}{2}+1}{\tfrac{1}{2}}=\dfrac{\tfrac{3}{2}}{\tfrac{1}{2}}=3.)

Resposta

\text{indefinido}

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