Dadas f(x)=(x+1) / x e g(x)=x /(x+1), determine:
(c) f(g(0))

Passo 1

Vamos entender claramente o que o problema dá e o que pede. O enunciado fornece duas funções:
  • f(x)=\dfrac{x+1}{x}.
  • g(x)=\dfrac{x}{x+1}.
A pergunta (parte (c)) é calcular f(g(0)), isto é, compor f com g avaliada em x=0.
Lista das informações relevantes:
  • A composição f(g(0)) significa primeiro calcular g(0) e depois calcular f desse resultado.
  • Atenção importante: se em algum passo ocorrer uma divisão por zero, o valor não estará definido.

Passo 2

Calcular g(0) passo a passo. A definição é g(x)=\dfrac{x}{x+1}. Substituindo x=0:
g(0)=\dfrac{0}{0+1}.
Agora fazemos as operações no numerador e denominador:
0+1=1,
logo
g(0)=\dfrac{0}{1}=0.
Interpretar o resultado do passo anterior: obtemos g(0)=0. Então f(g(0)) é igual a f(0). Precisamos agora avaliar f(0).

Passo 3

Tentar calcular f(0) usando f(x)=\dfrac{x+1}{x}. Substituindo x=0:
f(0)=\dfrac{0+1}{0}.
Calcule o numerador:
0+1=1,
então
f(0)=\dfrac{1}{0}.
Aqui aparece uma divisão por zero. Lembrete (fórmula/conceito): divisão por zero não é definida nos reais — não existe um número real que multiplicado por 0 1. Portanto \dfrac{1}{0} é indefinido.

Passo 4

Explicação conceitual sobre domínio e composição (importante para a prova). Domainos das funções:
  • Domínio de g: todos os x tais que x+1\neq0, isto é, x\neq-1. Logo 0\in Dom( g).
  • Domínio de f: todos os x tais que x\neq0. Ou seja, 0\notin Dom( f).
Para que f(g(0)) esteja definido é necessário que 0\in Dom( g) (sim) e que g(0)\in Dom( f). Como g(0)=0 e 0\notin Dom( f), a composição não está definida em x=0.
Conclusão final: g(0)=0, mas f(0) não está definida por envolver divisão por zero. Portanto f(g(0)) não existe (é indefinido).

Resposta

\text{indefinido (f(g(0)) não está definido)}ãá

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