Dadas as funções abaixo, determine suas derivadas, em relação ao seu argumento, até segunda ordem.
f(t)=x_{0} \cos (w t+a) e^{-w t}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=x_{0}\cos\bigl(\omega t+a\bigr)e^{-\omega t}
e pede f'(t) e f''(t). Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar em relação a t.

Passo 2

Seja
u(t)=x_{0}\cos\bigl(\omega t+a\bigr), \quad v(t)=e^{-\omega t}.
Então, pela regra do produto,
f'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Como
u'(t)=x_{0}\bigl[-\sin(\omega t+a)\bigr]\cdot\omega=-x_{0}\omega\sin(\omega t+a),
v'(t)=e^{-\omega t}\cdot(-\omega)=-\omega e^{-\omega t},
temos
f'(t) =\bigl(-x_{0}\omega\sin(\omega t+a)\bigr)e^{-\omega t} +x_{0}\cos(\omega t+a)\bigl(-\omega e^{-\omega t}\bigr).

Passo 3

Fatorando x_{0}\omega e^{-\omega t}, obtemos
f'(t) =-x_{0}\omega e^{-\omega t}\bigl[\sin(\omega t+a)+\cos(\omega t+a)\bigr].

Passo 4

Para f''(t), note que podemos escrever
f'(t)=-x_{0}\omega\,e^{-\omega t}\,g(t), \quad g(t)=\sin(\omega t+a)+\cos(\omega t+a).
Aplicando de novo a regra do produto e usando
\frac{d}{dt}e^{-\omega t}=-\omega e^{-\omega t}, \quad g'(t)=\omega\cos(\omega t+a)-\omega\sin(\omega t+a),
segue
f''(t) =-x_{0}\omega\Bigl[\bigl(-\omega e^{-\omega t}\bigr)g(t) +e^{-\omega t}\bigl(\omega[\cos(\omega t+a)-\sin(\omega t+a)]\bigr)\Bigr].

Passo 5

Dentro dos colchetes temos
-\omega\,g(t)+\omega\bigl[\cos(\omega t+a)-\sin(\omega t+a)\bigr] =\omega\bigl[-(\sin A+\cos A)+( \cos A-\sin A)\bigr] =-2\omega\sin(\omega t+a).
Portanto
f''(t) =-x_{0}\omega e^{-\omega t}\bigl(-2\omega\sin(\omega t+a)\bigr) =2x_{0}\omega^{2}e^{-\omega t}\sin(\omega t+a).

Resposta

f'(t)=-x_{0}\,\omega\,e^{-\omega t}\bigl[\sin(\omega t+a)+\cos(\omega t+a)\bigr],
f''(t)=2x_{0}\,\omega^{2}\,e^{-\omega t}\,\sin(\omega t+a).

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